Астрономия: понятие понижения горизонта

[latexpage]

Предлагаю вам познакомиться с таким понятием, как понижение горизонта, или депрессия горизонта, как его еще называют. Задачи  подобраны Шатовской Натальей Евгеньевной, учителем школы 179 г. Москвы.

Задача 1.  Эратосфен в 250 году до нашей эры определил, что Солнце находится в Сиене (ныне Асуан) в зените в тот момент, когда в Александрии оно расположено на $7^h 12’$ южнее зенита. Расстояние между пунктами наблюдений составляло 5000 стадий. Вычислите длину одной стадии в метрах.

$7^h 12’=7,2^{\circ}$ – это 0,126 радиана. Если длина окружности земли –  40 тыс. км. – cоответствует $2\pi$ радианам, то, составляя пропорцию, имеем

$$x=\frac{40000000\cdot0,126}{2\pi}=800000$$

Тогда, если 5000 стадий – это 800 км, то стадия равна 160 м.

Ответ: 160 м.

Задача 2. Единица расстояния морская миля была выбрана таким образом, чтобы перемещение вдоль меридиана на одну такую единицу соответствовало изменению географической широты на 1’. Сколько метров в морской миле? Длину меридиана принять равной 40000 км.

Так как диапазон широт составляет $180^{\circ}$, то в минутах это будет 10800’. И это угловое расстояние соответствует половине длины окружности Земли, то есть 20000000 м. Тогда какое расстояние будет соответствовать 1 минуте? Вычисляем:

$$x=\frac{20000000}{10800}=1852$$

Ответ: миля – это 1852 м.

Задача  3. Какова дальность горизонта для астронавта, прогуливающегося по лунной равнине? Диаметр Луны – 3480 км.

Для прямоугольного треугольника на рисунке запишем теорему Пифагора:

$$d^2=(R+h)^2-R^2$$

Тогда

$$d^2=2Rh+h^2$$

Но $h^2$ – квадрат роста космонавта – очень мал по сравнению с радиусом Луны, пренебрежем им.

$$d=\sqrt{2Rh}=\sqrt{2\cdot1740000\cdot1,8}=2503$$

Ответ: при росте космонавта 1,8 м он будет видеть горизонт Луны в 2,5 км от себя.

Задача  4. Определите, на какой высоте над поверхностью Земли произошёл взрыв Тунгусского метеорита, если в городе Киренске (на реке Лене), расположенном в 350 км от места взрыва, он  наблюдался на горизонте.

Здесь, согласно рисунку к предыдущей задаче, нам дано расстояние $d$. Тогда

$$(R+h)^2=d^2+R^2$$

$$R+h=\sqrt{ d^2+R^2}$$

$$h=\sqrt{ d^2+R^2}-R=\sqrt{ 350000^2+6400000^2}-6400000=9563$$

Ответ: взрыв произошел на высоте примерно 9,5 км.

Задача 5. Чему равно понижение горизонта для наблюдателя, смотрящего в море с гребня яйлы (в Крыму) высотой в 1000 м?

Депрессия горизонта – это понижение видимого горизонта по отношению к истинному горизонту в угловых минутах, т. е. угол $\alpha$ между лучом зрения, касательным к земной поверхности, и проходящей через глаз наблюдателя плоскостью, перпендикулярной к линии отвеса. В отсутствие рефракции депрессия горизонта называется геометрической и определяется по формуле

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\sqrt{\frac{2h}{R}},$$

где $h$ — высота глаза наблюдателя, $R$ — радиус Земли. Рефракция обычно уменьшает депрессию горизонта, но иногда и увеличивает.

Синоним: понижение горизонта.

Тогда в данном случае

$$\cos \alpha=\frac{R}{R+h}=\frac{6400}{6401}=0,99984$$

Ответ: $\alpha=\arccos(0,99984)$.

Задача 6. За какое время свет преодолевает расстояние от Луны до Земли (примерно 400 тыс.км)? От Солнца до Земли (примерно 150 млн.км) ?

$$t_1=\frac{L_1}{c}=\frac{400000000}{3\cdot10^8}=1,33$$

$$t_2=\frac{L_2}{c}=\frac{150000000000}{3\cdot10^8}=500$$

Ответ: от Луны до Земли – за 1,33 с, от Солнца до Земли – за 500 с, или 8 минут 20 с.

Задача 7. Движением луноходов, исследовавших Луну в 1970 и 1973 годах, управляли операторы с Земли. Однако для управления движением марсоходов этот способ оказался непригодным. Почему?

Потому что радиосигнал, распространяющийся со скоростью света, доходит от Марса до Земли (расстояние 55 млн. км) за время:

$$t=\frac{L}{c}=\frac{55000000000}{3\cdot10^8}=183,3$$

То есть с момента посыла сигнала до получения ответа пройдет 366 с (туда и обратно) – а это 6 минут с хвостиком.

Задача 8. С какого расстояния производится радиолокация поверхности планеты, если испущенный локатором сигнал возвращается через 0,1 с?

$$2L=tc=3\cdot10^8\cdot 0,1=30000000$$

Ответ: 15 000 км.

Задача 9. Орбита Венеры близка к окружности с радиусом 0,72 а.е. За какое время сигнал с искусственного спутника планеты достигает Земли?

Венера может находиться как в верхнем соединении с Землей (тогда расстояние до нее 1,72 а.е.), так и в нижнем (тогда расстояние 0,28 а.е.). Следовательно, время хода сигнала туда и обратно может составить

$$t_1=\frac{2L_1}{c}=\frac{3,44\cdot 150 000 000 000}{3\cdot10^8}=1720$$

Или

$$t_2=\frac{2L_2}{c}=\frac{0,56\cdot 150 000 000 000}{3\cdot10^8}=280$$

Задача 10. Вычислите протяжённость светового года в километрах.

$$L=ct=3\cdot10^5\cdot 365\cdot 24\cdot 3600=9,46\cdot10^{12}$$

Ответ: $L=9,46\cdot10^{12}$ км.

Задача 11. Вычислите время, за которое Земля при своём движении вокруг Солнца проходит расстояние, равное её собственному диаметру. Кто в этом смысле быстрее – Земля или черепаха?

Длина окружности орбиты Земли равна $2 \pi R$. Тогда, зная период обращения (год) найдем скорость:

$$\upsilon=\frac{2 \pi R}{T}=\frac{2 \pi \cdot 150 000 000}{365\cdot 24\cdot 3600}=29,8$$

Скорость получена в км/с. Следовательно, время, за которое будет пройден диаметр, равно

$$t=\frac{D}{\upsilon}=\frac{12800}{29,8}=429,5$$

Ответ: за 429,5 с. Получается, относительная скорость движения меньше, чем у черепахи.

Справочная информация:

Градусная мера угла: градусы, минуты и секунды дуги

$1^h=60’$, $1’=60”$

Часовая мера угла: часы, минуты и секунды часовой меры

$360^{\circ} = 24^h$, $1^h =60^m$, $1^m =60s$

 

Задача 12. Выразите в угловых минутах и секундах:

а) $1^{\circ}$;       б)  $0,1^{\circ}$;       в) $2,5^{\circ}$;       г) $0,9^{\circ}$;      д) $\frac{3}{4}^{\circ}$.

Один градус – это 60 минут или 3600 секунд.

Тогда 0,1 градуса – 6 минут или 360 секунд.

2,5 градуса  – 150 минут или  9000 секунд.

0,9 градуса – это 54 минуты или 3240 секунд.
0.75 градуса – это 45 минут или 2700 секунд.

Задача 13. Выразите в градусах:

а) 600’;     б) 180’;      в) 330’;      г) 72000”;    д) 900”.

600 минут – это 10 градусов.

180 минут – 3 градуса.

330 минут – 5,5 градусов.

72000 секунд – 20 градусов.

900 секунд – 0,25 градуса.

Задача 14. Выразите в часовой мере угол:

а) $90^{\circ}$;        б) $40^{\circ}$;       в) $103^{\circ}$;   г) $256^{\circ}$;    д) $359^{\circ}$.

90 градусов – ровно $6^h$.

40 градусов – это одна девятая от полного оборота – или одна девятая от $24^h$, то есть $2 \frac{2}{3}$ часа или $2^h 40^m$.

103 градуса – это 90 и 13, то есть $6^h$ и $\frac{13}{15}$ часа или $6^h 52^m$.

256 градусов – это (180 +75 + 1) градус. То есть $12^h+5^h+4^m=17^h 4^m$

Ну и наконец 259 градусов – это 24 часа без 4 минут – $23^h 56^m$.

Задача 15. Выразите в градусной мере угол:

а) $2^h 30^m$;   б) $5^h 24^m$;   в) $18^h 36^m$;   г) $23^h 04^m$.

$$2^h 30^m=30^{\circ}+7,5^{\circ}=37,5^{\circ}$$

$$5^h 24^m=5\cdot 15^{\circ}+\frac{24}{60}\cdot15^{\circ}=81^{\circ}$$

$$18^h 36^m=18\cdot 15^{\circ}+\frac{36}{60}\cdot15^{\circ}=279^{\circ}$$

$$23^h 04^m=23\cdot 15^{\circ}+\frac{4}{60}\cdot15^{\circ}=346^{\circ}$$

Задача 16. Каковы географические координаты точки, диаметрально противоположной Москве ($56^{\circ}$ с.ш., $38^{\circ}$ в.д.)?

Координаты этой точки будут $56^{\circ}$ ю.ш., $142^{\circ}$ з.д.

Задача 17. Каково расстояние между указанными точками (кратчайшее расстояние, измеренное по поверхности Земли, принимаемой за идеальный шар)?           а) $30^{\circ}$ с.ш., $90^{\circ}$ в.д. и $60^{\circ}$ ю.ш., $90^{\circ}$ в.д.

Обе точки находятся на одном меридиане, поэтому расстояние между ними определяется углом $90^{\circ}$ между широтами. Это угловое расстояние соответствует четверти длины окружности Земли, и составит 10000 км.

б) $10^{\circ}$ ю.ш., $120^{\circ}$ з.д. и $55^{\circ}$ ю.ш., $120^{\circ}$ з.д.

И снова точки на одном меридиане. Угловое расстояние между их широтами – $45^{\circ}$, или одна восьмая длины окружности, то есть 5000 км.

в) $60^{\circ}$ с. ш., $30^{\circ}$ в.д. и  $60^{\circ}$ ю. ш., $150^{\circ}$ з.д.

Точки находятся на одной окружности, которая является окружностью центрального сечения. Следовательно, так как угловое расстояние составляет $120^{\circ}$, то линейное расстояние составит треть длины экватора, или $\frac{40000}{3}\approx 13333$ км.

г) $0^{\circ}$ ш., $0^{\circ}$ д. и $30^{\circ}$ с. ш., $90^{\circ}$ в.д.

Здесь, поскольку исходная точка на экваторе, то из нее надо сдвинуться на четверть экватора вдоль него, и потом еще на одну двенадцатую вверх к требуемой широте. Поэтому длину  расстояния здесь можем найти как часть длины окружности сечения, проходящего под углом $30^{\circ}$ к экватору. Очевидно, что это также четверть экватора (если считать Землю шаром).

Ответ: а) 10000 км; б) 5000 км; в) 13333 км;  г) 13333 км.

Задача 18. Спутник Марса Фобос обращается приблизительно в экваториальной плоскости на высоте 6000 км над поверхностью планеты, диаметр Марса – 6800 км. Виден ли Фобос из приполярных областей Марса? В каких широтах он виден?

Определим угол понижения горизонта:

$$\cos \alpha=\frac{R}{R+h}=\frac{3400}{9400}=0,36$$

Арккосинусом является угол $69^{\circ}$, то есть Фобос виден  с широт не более этой. С приполярных областей, стало быть, не виден.

Ответ: $\alpha=\arccos(0,36)=69^{\circ}$.

Задача 19. Метеоры, относящиеся к метеорному потоку Лирид, наблюдаются ежегодно с 19 по 24 апреля. Предполагая, что Земля пересекает метеорный поток перпендикулярно его оси, вычислите ширину потока в километрах. Радиус земной орбиты – 150 млн.км.

Скорость перемещения Земли вокруг Солнца уже определяли, она равна 29,8 км/с. (смотри задачу 11). Тогда ширина потока Лирид

$$L=t\upsilon}=5\cdot24\cdot3600\cdot29,8=12 908 160$$

Ответ: 12,9 млн. км.