Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

Алюминий и никель: задачи из последних пособий.

И снова шахты! Опыт показал, что не у всех эти задачи идут «на ура». Поэтому решаем еще.

Задача 1.  В двух областях есть но 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произнести завод?

Решение. И в первой области, и во второй мы располагаем 500 человеко-часами трудового ресурса. Со второй областью все ясно: пусть там добывают x кг алюминия и тратят на это x^2 человеко-часов, и аналогично с никелем: добывают y кг, тратят y^2 часов. Тогда для второй области

    \[x^2+y^2=500\]

Пусть в первой области тратят n часов на добычу алюминия, тогда его добывают 0,2n кг. Тогда на добычу никеля уходит 500-n часов, и его добывают (500-n)\cdot 0,1 кг.

Всего в обеих областях добывают алюминия: x+0,2n кг, никеля: y+50-0,1n кг. А в производимом сплаве отношение масс алюминия и никеля 1:2. То есть

    \[\frac{ x+0,2n }{ y+50-0,1n }=\frac{1}{2}\]

Получили уравнение, выразим из него n.

    \[2x+0,4n= y+50-0,1n\]

    \[0,5n= y+50-2x\]

    \[n=2y+100-4x\]

Теперь вспомним о цели задачи: максимально увеличить массу сплава. А масса сплава втрое больше массы алюминия:

    \[m=3(x+0,2n)\]

Подставим n:

    \[m=3x+0,6n=3x+0,6(2y+100-4x)=3x+1,2y+60-2,4x=0,6x+1,2y+60\]

Из уравнения, составленного самым первым, выразим y:

    \[y=\sqrt{500-x^2}\]

Тоже подставим в массу сплава:

    \[m=0,6x+60+1,2\sqrt{500-x^2}\]

Чтобы найти экстремум, возьмем производную:

    \[m'=0,6+1,2\cdot\frac{1}{2}\cdot(500-x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2x)=0\]

    \[0,6-\frac{1,2x}{\sqrt{500-x^2}}=0\]

    \[\sqrt{500-x^2}=2x\]

    \[500=5x^2\]

    \[x=10\]

Тогда y=20, n=2\cdot20+100-4\cdot 10=100, следовательно, на первой шахте добывается 20 кг алюминия, а сплава всего выходит 90 кг.

Ответ: 90 кг.

 

Задача 2. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произнести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. И в первой области, и во второй мы располагаем 1000 человеко-часами трудового ресурса. Со второй областью все ясно: пусть там добывают x кг алюминия и тратят на это x^2 человеко-часов, и аналогично с никелем: добывают y кг, тратят y^2 часов. Тогда для второй области

    \[x^2+y^2=1000\]

Пусть в первой области тратят n часов на добычу алюминия, тогда его добывают 0,3n кг. Тогда на добычу никеля уходит 1000-n часов, и его добывают (1000-n)\cdot 0,1 кг.

Всего в обеих областях добывают алюминия: x+0,3n кг, никеля: y+100-0,1n кг. А в производимом сплаве отношение масс алюминия и никеля 2:1. То есть

    \[\frac{ x+0,3n }{ y+100-0,1n }=\frac{2}{1}\]

Получили уравнение, выразим из него n.

    \[x+0,3n= 2y+200-0,2n\]

    \[0,5n= 2y+200-x\]

    \[n=4y+400-2x\]

Теперь вспомним о цели задачи: максимально увеличить массу сплава. А масса сплава втрое больше массы никеля:

    \[m=3(y+100-0,1n)\]

Подставим n:

    \[m=3y+300-0,3n=3y+300-0,3(4y+400-2x)=3y+300-1,2y-120+0,6x=1,8y+0,6x+180\]

Из уравнения, составленного самым первым, выразим y:

    \[y=\sqrt{1000-x^2}\]

Тоже подставим в массу сплава:

    \[m=0,6x+180+1,8\sqrt{1000-x^2}\]

Чтобы найти экстремум, возьмем производную:

    \[m'=0,6+1,8\cdot\frac{1}{2}\cdot(1000-x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2x)=0\]

    \[0,6-\frac{1,8x}{\sqrt{1000-x^2}}=0\]

    \[\sqrt{1000-x^2}=3x\]

    \[1000=10x^2\]

    \[x=10\]

Тогда y=30, n=4\cdot30+400-2\cdot 10=500, следовательно, на первой шахте добывается 150 кг алюминия, а никеля – 80. Сплава всего выходит 240 кг.

Ответ: 240 кг.

 

Задача 3. В двух областях есть по 130 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй области для добычи 10x кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи 10y кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производился сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 3 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. И в первой области, и во второй мы располагаем 1300 человеко-часами трудового ресурса. Со второй областью все ясно: пусть там добывают 10x кг алюминия и тратят на это x^2 человеко-часов, и аналогично с никелем: добывают 10y кг, тратят y^2 часов. Тогда для второй области

    \[x^2+y^2=1300\]

Пусть в первой области тратят n часов на добычу алюминия, тогда его добывают 3n кг. Тогда на добычу никеля уходит 1300-n часов, и его добывают (1300-n)\cdot 2 кг.

Всего в обеих областях добывают алюминия: 10x+3n кг, никеля: 10y+2600-2n кг. А в производимом сплаве отношение масс алюминия и никеля 2:3. То есть

    \[\frac{ 10x+3n }{ 10y+2600-2n }=\frac{2}{3}\]

Получили уравнение, выразим из него n.

    \[30x+9n= 20y+5200-4n\]

    \[13n= 20y+5200-30x\]

    \[n=\frac{20y+5200-30x }{13}\]

Теперь вспомним о цели задачи: максимально увеличить массу сплава. А масса сплава в 2,5 раза больше массы алюминия:

    \[m=2,5(10x+3n)\]

Подставим n:

    \[m=25x+7,5n=25x+7,5\cdot \frac{20y+5200-30x }{13}=25x+\frac{150y}{13}+3000-\frac{225x}{13}=\frac{150y}{13}+3000+\frac{100x}{13}\]

Из уравнения, составленного самым первым, выразим y:

    \[y=\sqrt{1300-x^2}\]

Тоже подставим в массу сплава:

    \[m=3000+\frac{100x}{13}+\frac{150}{13}\cdot\sqrt{1300-x^2}\]

Чтобы найти экстремум, возьмем производную:

    \[m'=\frac{100x}{13}+\frac{150}{13}\cdot\frac{1}{2}\cdot(1300-x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2x)=0\]

    \[\frac{100}{13}-\frac{150x}{13\sqrt{1300-x^2}}=0\]

    \[100\sqrt{1300-x^2}=150x\]

    \[2\sqrt{1300-x^2}=3x\]

    \[4(1300-x^2)=9x^2\]

    \[4\cdot 1300=13x^2\]

    \[x=20\]

Тогда y=30, n=\frac{20y+5200-30x }{13}=\frac{20\cdot30+5200-30\cdot 20}{13}=400, следовательно, на первой шахте добывается 1200 кг алюминия, а никеля – 1800. На второй шахте добывают 200 кг алюминия, и 300 никеля. Сплава всего выходит 3500 кг.

Ответ: 3500 кг.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *