Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (15)

Алюминий и никель: задачи из последних пособий.

[latexpage]

И снова шахты! Опыт показал, что не у всех эти задачи идут «на ура». Поэтому решаем еще.

Задача 1.  В двух областях есть но 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произнести завод?

Решение. И в первой области, и во второй мы располагаем 500 человеко-часами трудового ресурса. Со второй областью все ясно: пусть там добывают $x$ кг алюминия и тратят на это $x^2$ человеко-часов, и аналогично с никелем: добывают $y$ кг, тратят $y^2$ часов. Тогда для второй области

$$x^2+y^2=500$$

Пусть в первой области тратят $n$ часов на добычу алюминия, тогда его добывают $0,2n$ кг. Тогда на добычу никеля уходит $500-n$ часов, и его добывают $(500-n)\cdot 0,1$ кг.

Всего в обеих областях добывают алюминия: $x+0,2n$ кг, никеля: $y+50-0,1n$ кг. А в производимом сплаве отношение масс алюминия и никеля $1:2$. То есть

$$\frac{ x+0,2n }{ y+50-0,1n }=\frac{1}{2}$$

Получили уравнение, выразим из него $n$.

$$2x+0,4n= y+50-0,1n$$

$$0,5n= y+50-2x$$

$$n=2y+100-4x$$

Теперь вспомним о цели задачи: максимально увеличить массу сплава. А масса сплава втрое больше массы алюминия:

$$m=3(x+0,2n)$$

Подставим $n$:

$$m=3x+0,6n=3x+0,6(2y+100-4x)=3x+1,2y+60-2,4x=0,6x+1,2y+60$$

Из уравнения, составленного самым первым, выразим $y$:

$$y=\sqrt{500-x^2}$$

Тоже подставим в массу сплава:

$$ m=0,6x+60+1,2\sqrt{500-x^2}$$

Чтобы найти экстремум, возьмем производную:

$$m’=0,6+1,2\cdot\frac{1}{2}\cdot(500-x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2x)=0$$

$$0,6-\frac{1,2x}{\sqrt{500-x^2}}=0$$

$$\sqrt{500-x^2}=2x$$

$$500=5x^2$$

$$x=10$$

Тогда $y=20$, $n=2\cdot20+100-4\cdot 10=100$, следовательно, на первой шахте добывается 20 кг алюминия, а сплава всего выходит 90 кг.

Ответ: 90 кг.

 

Задача 2. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи $x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произнести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. И в первой области, и во второй мы располагаем 1000 человеко-часами трудового ресурса. Со второй областью все ясно: пусть там добывают $x$ кг алюминия и тратят на это $x^2$ человеко-часов, и аналогично с никелем: добывают $y$ кг, тратят $y^2$ часов. Тогда для второй области

$$x^2+y^2=1000$$

Пусть в первой области тратят $n$ часов на добычу алюминия, тогда его добывают $0,3n$ кг. Тогда на добычу никеля уходит $1000-n$ часов, и его добывают $(1000-n)\cdot 0,1$ кг.

Всего в обеих областях добывают алюминия: $x+0,3n$ кг, никеля: $y+100-0,1n$ кг. А в производимом сплаве отношение масс алюминия и никеля $2:1$. То есть

$$\frac{ x+0,3n }{ y+100-0,1n }=\frac{2}{1}$$

Получили уравнение, выразим из него $n$.

$$x+0,3n= 2y+200-0,2n$$

$$0,5n= 2y+200-x$$

$$n=4y+400-2x$$

Теперь вспомним о цели задачи: максимально увеличить массу сплава. А масса сплава втрое больше массы никеля:

$$m=3(y+100-0,1n)$$

Подставим $n$:

$$m=3y+300-0,3n=3y+300-0,3(4y+400-2x)=3y+300-1,2y-120+0,6x=1,8y+0,6x+180$$

Из уравнения, составленного самым первым, выразим $y$:

$$y=\sqrt{1000-x^2}$$

Тоже подставим в массу сплава:

$$ m=0,6x+180+1,8\sqrt{1000-x^2}$$

Чтобы найти экстремум, возьмем производную:

$$m’=0,6+1,8\cdot\frac{1}{2}\cdot(1000-x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2x)=0$$

$$0,6-\frac{1,8x}{\sqrt{1000-x^2}}=0$$

$$\sqrt{1000-x^2}=3x$$

$$1000=10x^2$$

$$x=10$$

Тогда $y=30$, $n=4\cdot30+400-2\cdot 10=500$, следовательно, на первой шахте добывается 150 кг алюминия, а никеля – 80. Сплава всего выходит 240 кг.

Ответ: 240 кг.

 

Задача 3. В двух областях есть по 130 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй области для добычи $10x$ кг алюминия в день требуется $x^2$ человеко-часов труда, а для добычи $10y$ кг никеля в день требуется $y^2$ человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производился сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 3 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение. И в первой области, и во второй мы располагаем 1300 человеко-часами трудового ресурса. Со второй областью все ясно: пусть там добывают $10x$ кг алюминия и тратят на это $x^2$ человеко-часов, и аналогично с никелем: добывают $10y$ кг, тратят $y^2$ часов. Тогда для второй области

$$x^2+y^2=1300$$

Пусть в первой области тратят $n$ часов на добычу алюминия, тогда его добывают $3n$ кг. Тогда на добычу никеля уходит $1300-n$ часов, и его добывают $(1300-n)\cdot 2$ кг.

Всего в обеих областях добывают алюминия: $10x+3n$ кг, никеля: $10y+2600-2n$ кг. А в производимом сплаве отношение масс алюминия и никеля $2:3$. То есть

$$\frac{ 10x+3n }{ 10y+2600-2n }=\frac{2}{3}$$

Получили уравнение, выразим из него $n$.

$$30x+9n= 20y+5200-4n$$

$$13n= 20y+5200-30x$$

$$n=\frac{20y+5200-30x }{13}$$

Теперь вспомним о цели задачи: максимально увеличить массу сплава. А масса сплава в 2,5 раза больше массы алюминия:

$$m=2,5(10x+3n)$$

Подставим $n$:

$$m=25x+7,5n=25x+7,5\cdot \frac{20y+5200-30x }{13}=25x+\frac{150y}{13}+3000-\frac{225x}{13}=\frac{150y}{13}+3000+\frac{100x}{13}$$

Из уравнения, составленного самым первым, выразим $y$:

$$y=\sqrt{1300-x^2}$$

Тоже подставим в массу сплава:

$$ m=3000+\frac{100x}{13}+\frac{150}{13}\cdot\sqrt{1300-x^2}$$

Чтобы найти экстремум, возьмем производную:

$$m’=\frac{100x}{13}+\frac{150}{13}\cdot\frac{1}{2}\cdot(1300-x^2)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-2x)=0$$

$$\frac{100}{13}-\frac{150x}{13\sqrt{1300-x^2}}=0$$

$$100\sqrt{1300-x^2}=150x$$

$$2\sqrt{1300-x^2}=3x$$

$$4(1300-x^2)=9x^2$$

$$4\cdot 1300=13x^2$$

$$x=20$$

Тогда $y=30$, $n=\frac{20y+5200-30x }{13}=\frac{20\cdot30+5200-30\cdot 20}{13}=400$, следовательно, на первой шахте добывается 1200 кг алюминия, а никеля – 1800. На второй шахте добывают 200 кг алюминия, и 300 никеля. Сплава всего выходит 3500 кг.

Ответ: 3500 кг.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *