Абсолютная и относительная влажность.

[latexpage]
Задача 1. Какую массу воды следует налить в сосуд емкостью 2 л, чтобы она, полностью испарившись при температуре $100^{\circ}C$, создала давление 100 кПа?

---

 

Решение: Используем уравнение Менделеева-Клапейрона для решения. Предварительно выразим температуру в Кельвинах, молярную массу в килограммах, давление – в Паскалях: $T=100^{\circ}+273^{\circ}=373^{\circ}$ К, 2 л – 0,002 м$^3$, 100кПа – это давление $10^5$ Па, $M=18$ г/моль, или $M=18\cdot10^{-3}$ кг/моль.

$$pV=\frac{m}{M}RT$$

$$m=\frac{pVM}{RT}=\frac{10^5 \cdot 2\cdot 10^{-3}\cdot 18\cdot10^{-3}}{8,31 \cdot373}=0,0011$$

Ответ: масса воды – 1,1 г.

 

Задача 2. В комнате при температуре $20^{\circ}C$  влажность воздуха равна 40%. В это же время на улице при температуре $0^{\circ}C$  влажность воздуха равна 80%. В каком направлении пойдут водяные пары, если открыть форточку: с улицы в комнату или обратно?

---

Решение:

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, надо понять, где давление будет больше: в комнате или снаружи. Определяем давление из уравнения Менделеева-Клапейрона:

$$pV=\frac{m}{M}RT$$

$$p=\frac{m}{MV}RT$$

$$\rho=\frac{m}{V}$$

$$p_1=\frac{\rho_1 }{M}RT_1$$

$$p_2=\frac{\rho_2 }{M}RT_2$$

Так как относительная влажность – это отношение текущей плотности водяного пара к плотности насыщенного пара при данной температуре, то  вместо плотности водяного пара в комнате подставим  $0,4\cdot \rho_{20^{\circ}}$, а вместо плотности на улице можно подставить $0,8\cdot \rho_{0^{\circ}}$. Возьмем отношение давлений в комнате и на улице:

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{T_1\cdot0,4\cdot \rho_{20^{\circ}}}{T_2\cdot0,8\cdot \rho_{0^{\circ}}}$$

 

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{293\cdot0,4\cdot 2,34}{273\cdot0,8\cdot 0,61}=\frac{274}{133,2}$$

Так как отношение больше 1, то давление в комнате больше, чем на улице, и пары будут выходить из комнаты наружу.

 

Задача 3. Определите абсолютную влажность воздуха, если парциальное давление пара в нем равно 14 кПа, а температура 333 К?

---

Решение:

Переведем абсолютную температуру в градусы Цельсия – потому что так удобнее будет пользоваться таблицей давлений насыщенного пара от температуры:

$$t^{\circ}=T-273=333-273=60^{\circ}$$

По таблице определяем, что при такой температуре давление насыщенного пара составляет 19,92 кПа, а его плотность 129,5 г/м$^3$.

Абсолютная влажность воздуха – это плотность водяного пара.  Выражается она, как любая плотность, в г/м$^3$. Найдем отношение парциального давления при данной температуре к давлению насыщенного пара, тогда и плотности паров будут относиться так же:

$$\frac{\rho}{\rho_0}=\frac{p}{p_0}$$

$$\frac{14}{19,92}=\frac{\rho}{129,5}$$

$$\rho =\frac{14\cdot 129,5}{19,92}=90,7$$

Ответ: 90,7 г/м$^3$.

 

Задача 4. Относительная влажность в комнате при температуре  $16^{\circ}C$  составляет 65%. Как изменится она при понижении температуры воздуха на 4 К, если упругость водяного пара останется прежней?

---

Решение:

Упругостью водяного пара называют еще парциальное давление пара. Относительная влажность – это отношение текущей плотности водяного пара к плотности насыщенного пара при данной температуре, то есть отношение парциального давления пара к давлению насыщенного пара. Раз относительная влажность составляет 65%, то это значит, что парциальное давление пара равно $0,65\cdot p_{16^{\circ}}$. При понижении температуры на 4К изменится давление насыщенного пара, которое мы определяем по таблице. Так как плотность (упругость) пара не меняется, то относительную влажность найдем как отношение плотности при $16^{\circ}C$  к плотности насыщенного пара при $12^{\circ}C$

$$\varphi=\frac{0,65\cdot p_{16^{\circ}}}{ p_{12^{\circ}}}$$

По таблице найдем парциальное давление пара при обеих температурах: при $16^{\circ}C$ оно равно 1,82 кПа, при $12^{\circ}C$ – 1,4 кПа. Тогда:

$$\varphi=\frac{0,65\cdot 1,82}{ 1,4}\cdot 100\%=84,5\%$$

Ответ:  влажность возрастет на $84,5\%-65\%=19,5\%$

 

Задача 5. Какова плотность насыщенного водяного пара при температуре $100^{\circ}C$  и нормальном давлении?

---

 

Эта задача решения не требует, так как плотность насыщенного пара определяется по таблице – $588,5$ г/м$^3=0,59$ кг/м$^3$

 

Задача 6. Для осушения воздуха, находящегося в баллоне емкостью 10 л, туда ввели кусок хлористого кальция, который поглотил 0,13 г воды. Какова была относительная влажность воздуха в баллоне, если его температура равна $20^{\circ}C$?

---

Решение:

Если хлористый кальций поглотил всю воду, значит, ее масса в сосуде была равна 0,13 г и приходилась на объем в 10 л. Тогда плотность водяного пара была равна $\rho=\frac{m}{V}$, при подстановке желательно выразить массу в килограммах, а объем – в метрах кубических. Тогда:

$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{0,00013}{10\cdot10^{-3}}=0,013$$

Мы получили плотность в кг/м$^3$, в таблице она в г/м$^3$, выразим и мы в граммах: 13 г/м$^3$. Теперь определяем плотность насыщенного пара при температуре $20^{\circ}C$ – она равна 17,3 г/м$^3$. Найдем относительную влажность:

$$\varphi=\frac{13}{17,3}\cdot 100\%=75\%$$

Ответ: 75%.

Задача 7. В сосуде объемом 1 л при $30^{\circ}C$  находится воздух с относительной влажностью  30%. Какой будет относительная влажность воздуха в сосуде, если в него ввести 1 г воды?

---

Решение:

По условию задачи понимаем, что плотность водяного пара составляла 30% от плотности насыщенного пара при этой температуре. Найдем эту плотность:

$$\rho =0,3\rho_{30^{\circ}}=0,3 \cdot 30,4=9,12$$

Это плотность в г/м$^3$. Тогда в сосуде объемом 1 л, то есть 0,001 м$^3$, будет содержаться 0,009 г воды. Добавим к этому количеству 1 г  – воды станет 1,009 г. Тогда относительная влажность будет равна

$$\varphi=\frac{1,009}{10^{-3}}\cdot 100\%=100\%$$

Конечно, расчет дает более 100 %, но такой относительная влажность не бывает, следовательно, излишек воды останется водой при 100% влажности.

 

Задача 8. В комнате объемом 50 м$^3$ относительная влажность воздуха 40%.  Если испарить дополнительно воду массой 60 г, то относительная влажность будет  50%. Какой при этом будет абсолютная влажность воздуха, если температура остается постоянной?

---

Решение:

Плотность (упругость) водяного пара вначале равна 40% от плотности насыщенного пара при этой температуре, то есть $0,4\rho_0$. После добавления 60 г воды она становится равной $0,5\rho_0$, то есть добавление 60 г воды на 50 м$^3$ меняет влажность на 10 %. То есть 6 г – это 1 %. Тогда 50% – это 300 г воды на такой объем комнаты, или плотность равна $\rho=\frac{m}{V}=\frac{0,3}{50}=\frac{0,6}{100}=0,006$ кг/м$^3$, или 6 г/м$^3$.

Ответ: 6 г/м$^3$.

 

 

Задача 9. При $4^{\circ}C$ сухой и влажный термометры психрометра давали одинаковые показания. Что покажет влажный термометр, если: а)  температура повысилась до  $10^{\circ}C$; б)если она повысилась до $16^{\circ}C$? Считать, что упругость водяного пара остается неизменной.

---

Решение:

Плотность пара неизменна. Значит, и давление тоже не меняется.  $4^{\circ}C$ – точка росы, пар насыщен. Если температура повысится до $10^{\circ}C$, то относительная влажность будет равна

$$\varphi_{10}=\frac{p_{4^{\circ}}}{p_{10^{\circ}}}\cdot 100\%=\frac{0,81}{1,23}\cdot 100\%=66\%$$

Если температура повысится до $16^{\circ}C$, то относительная влажность станет:

$$\varphi_{16}=\frac{p_{4^{\circ}}}{p_{16^{\circ}}}\cdot 100\%=\frac{0,81}{1,82}\cdot 100\%=44,5\%$$

По психрометрической таблице определяем, что разность показаний сухого и влажного термометров при температуре  $10^{\circ}C$ и влажности 66% равна $3^{\circ}C$, а при температуре  $16^{\circ}C$ и влажности 44,5% равна $6^{\circ}C$. Сухой термометр показывает истинную температуру, а влажный – дает показания ниже, за счет охлаждения водой, поэтому при $10^{\circ}C$ он покажет $10^{\circ}-3^{\circ}=7^{\circ}$, а при $16^{\circ}$ – $16^{\circ}-6^{\circ}=10^{\circ}$.

Ответ: а) $7^{\circ}C$, $10^{\circ}C$

 

Задача 10. Найти относительную влажность воздуха в комнате при $18^{\circ}C$, если точка росы $10^{\circ}C$?

---

Решение:

При $10^{\circ}C$ влажность воздуха становится 100-ной, то есть пар становится насыщенным. Иными словами, плотность пара равна плотности при $10^{\circ}C$. Можно воспользоваться как плотностями, так и давлениями паров при данных температурах.  При  $18^{\circ}C$ давление насыщенных паров равно 2,06 кПа, при $10^{\circ}C$ – 1,23 кПа. Тогда относительная влажность воздуха равна:

$$\frac{ p_{10^{\circ}}}{ p_{18^{\circ}}}=\frac{1,23}{2,06}=0,59$$

Или 59%.

Ответ: 59%

 

Задача 11. Днем при $20^{\circ}C$ относительная влажность воздуха была 60%. Сколько воды в виде росы выделится из каждого кубического метра воздуха, если температура ночью понизилась до $8^{\circ}C$?

---

Решение:

При  $8^{\circ}C$ плотность насыщенного пара равно 8,3 г/м$^3$. Так как при этом выпадает роса, то это точка росы, или температура, при которой влажность равна 100%. Поскольку влажность была 60%, то плотность паров  составляла $0,6\cdot \rho_{20^{\circ}}=0,6\cdot 17,3=10,4$ г/м$^3$.

Влажность не может быть более 100%, поэтому все, что свыше 8,3 г/м$^3$ – плотности в точке росы – конденсируется. Тогда в виде росы выпадет $10,4-8,3=2,1$ г/м$^3$ воды.

Ответ: 2,1 г

 

Задача 12. Два баллона объемами 1 и 2 м$^3$ соединены трубкой с краном. В первом баллоне находится воздух с влажностью 20%, во втором – 40%.  Температура в обоих баллонах равна 350 К, давление соответственно $10^5$ и $2\cdot 10^5$ Па. Кран открывают, и пар перемешивается. Определите относительную влажность воздуха и давление влажного воздуха.

---

Решение:

Температура в градусах Цельсия в обоих сосудах равна $350^{\circ} -273^{\circ}=77^{\circ}$. При такой температуре плотность насыщенного пара  $\rho_0=258,5$ г/м$^3$, а давление $p_0=41,88$ кПа. То есть в первом сосуде, где влажность равна 20%, плотность пара равна $\rho_1=0,2\cdot \rho_0=0,2\cdot 258,5=51,7$  г/м$^3$, а раз его объем 1 /м$^3$, то и масса воды тогда 51,7 г.

Во втором сосуде плотность пара равна $\rho_2=0,4\cdot \rho_0=0,4\cdot 258,5=103,4$  г/м$^3$, а раз его объем 2 /м$^3$, то  масса воды тогда 206,8 г.

Общая масса воды в обоих сосудах тогда равна $m_1+m_2=51,7+206,8=258,5$ г. Так как общий объем сосуда при открытии крана станет равным трем метрам кубическим, то вся эта масса пара распределится  по данному объему, и плотность пара тогда найдем по классической формуле,  масса на объем (г/м$^3$):

$$\rho_{sr}=\frac{m_1+m_2}{V_1+V_2}=\frac{258,5}{3}=86,6$$

Отношение парциального давления пара к давлению насыщенного пара при данной температуре – это относительная влажность:

$$\varphi=\frac{\rho_{sr}}{\rho_0}\cdot 100\% = \frac{86,6}{258,5} \cdot 100 \%=33 \%$$

Теперь определим давление. Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно записать для обоих сосудов:

$$p_1V_1=\frac{m_1RT}{M}$$

$$p_2V_2=\frac{m_2RT}{M}$$

Выразим отсюда объемы:

$$ V_1=\frac{m_1RT}{ p_1M}$$

$$ V_2=\frac{m_2RT}{ p_2M}$$

Объемы при открывании крана объединятся:

$$ V_1+V_2=\frac{m_1RT}{ p_1M}+\frac{m_2RT}{ p_2M}=\frac{RT}{M}\left(\frac{m_1}{p_1}+\frac{m_2}{p_2}\right)$$

Давление в таком объединенном сосуде будет согласно Менделееву-Клапейрону:

$$ p(V_1+V_2)=\frac{(m_1+m_2)RT}{M}$$

$$p=\frac{(m_1+m_2)RT}{(V_1+V_2)M}$$

Или:

$$ p=\frac{(m_1+m_2)RT}{M}\cdot \frac{M}{RT\left(\frac{m_1}{p_1}+\frac{m_2}{p_2}\right)}$$

$$ p=\frac{(m_1+m_2)}{ \left(\frac{m_1}{p_1}+\frac{m_2}{p_2}\right)}$$

$$ p=\frac{(m_1+m_2)}{ \left(\frac{p_2m_1}{p_1p_2}+\frac{p_1m_2}{p_1p_2}\right)}$$

$$ p=\frac{(m_1+m_2) p_1p_2}{p_2m_1+p_1m_2}$$

$$ p=\frac{(517)\cdot10^{10}}{51,7\cdot 2\cdot10^5+206,8\cdot10^5}$$

$$ p=\frac{(517)\cdot10^{5}}{51,7\cdot 2+206,8}$$

$$ p=\frac{(517)\cdot10^{5}}{103,4+206,8}$$

$$ p=\frac{(517)\cdot10^{5}}{310,2}=1,67\cdot10^5$$

Ответ: относительная влажность 33%,  $p=1,67\cdot10^5$