Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Введение в параметры – 7

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 11. В зависимости от параметра a найдите количество решений уравнения

    \[\mid\mid x+2 \mid -1 \mid = x +a.\]

Решение. Справа – ползающая вверх-вниз прямая, имеющая наклон k=1.

А что же справа? Строим поэтапно: прямую x+2, затем всю ту ее часть, которая находится под осью x, отражаем наверх: \mid x+2 \mid; затем получившуюся галку сдвигаем вниз на единицу: \mid x+2 \mid -1; и, наконец, «носик» галки – что под осью x – отражаем вверх: \mid\mid x+2 \mid -1 \mid.

Построение графика в задаче 11

Теперь начинаем двигать прямую a+x.

Поиск числа решений в задаче 11

На рисунке показано несколько положений прямой. Видно, что при a \in (-\infty; 1)  – решений нет; при a=1 – бесконечное число решений;  при a \in (1; 3) – одно решение; a=3 – бесконечное число решений; a>3 – 1 решение.

Задача 12. Найдите значения a, при которых уравнение

    \[10a + \sqrt{-48 +14x - x^2} = ax +1\]

имеет единственный корень.

Решение.

Справа – уравнение прямой, которая «пришпилена» к плоскости XoY в точке (0; 1) и меняет коэффициент наклона. А слева? Пусть

    \[y=10a + \sqrt{-48 +14x - x^2}\]

    \[y-10a=\sqrt{-49 +14x - x^2+1}\]

    \[y-10a=\sqrt{1-(49 -14x + x^2)}\]

    \[y-10a=\sqrt{1-(x-7)^2}\]

    \[(y-10a)^2=1-(x-7)^2\]

    \[(x-7)^2+(y-10a)^2=1\]

Таким образом, это полуокружность. Ее центр имеет координату по оси x_0=7 и радиус, равный 1. А вот по оси y наша окружность перемещается вверх-вниз (на 10a). Почему полуокружность? Потому что y-10a \geqslant 0.

Одно из решений в задаче 12

Если полуокружность и прямая касаются, то можно подставить в уравнение окружности y=ax+1, и полученное уравнение должно иметь дискриминант, равный нулю. Делаем!

    \[(x-7)^2+(ax+1-10a)^2=1\]

    \[x^2-14x+49+a^2x^2+1+100a^2-20a^2x+2ax-20a=0\]

    \[x^2(1+a^2)+x(2a+14-20a^2)+50-20a+100a^2=0\]

Дискриминант, деленный на 4, будет равен

    \[\frac{D}{4}=(a-7-10a^2)^2-(a^2+1)(50-20a+100a^2)=a^2+49+100a^4-20a^3-14a+140a^2 -(50a^2-20a^3+100a^4+50-20a+100a^2)=-9a^2+6a-1\]

    \[9a^2-6a+1=0\]

    \[a=\frac{1}{3}\]

Это решение вполне удовлетворяет ОДЗ.

Удобнее все-таки сделать полуокружность неподвижной, а прямую двигать.

Ответ: a=0, a=\frac{1}{3}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *