Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика, Статика

Статика в случае параллельных сил – 2

Еще несколько задач на статику, и опять из хорошего лицея Москвы.

Задача 5.  При каких массах груза m возможно равновесие однородного рычага массы M ? Штрихами рычаг делится на 7 одинаковых частей.

К задаче 1

Решение. Рычаг может опрокинуться как влево, так и вправо. Поэтому произведем малые смещения в обе стороны, и составим для обеих ситуаций уравнения моментов.

Опрокидывание влево

Если рычаг начнет опрокидываться влево, в правой части нить провиснет и не будет уже воздействовать на наш рычаг. В этом случае уравнение моментов будет таким:

    \[Mg\cdot \frac{x}{2}=mgx+mg\cdot 2x\]

Где x – длина одного деления на рычаге.

Имеем:

    \[\frac{ Mg }{2}=mg+2mg=3mg\]

Или

    \[Mg=6mg\]

Тогда, чтобы не было опрокидывания влево, нужно, чтобы

    \[m\geqslant \frac{M}{6}\]

Теперь представим, что все опрокидывается вправо.

Опрокидывание вправо

Правый груз приподнимется нитью и не будет давить на рычаг. И уравнение моментов  в этом случае таково:

    \[Mg\cdot \frac{x}{2}=mgx-T\cdot 3x\]

    \[T=mg\]

Следовательно,

    \[Mg\cdot \frac{x}{2}=-2mgx\]

    \[\frac{ M }{2}=-2m\]

    \[m=-\frac{ M }{4}\]

Поскольку правая часть меньше нуля, значит, нет таких масс, которые могли бы опрокинуть систему вправо. Следовательно, ответ:  m\geqslant \frac{M}{6}.

 

Задача 6. Однородная рейка массой m=2 кг , подвешенная на двух

нитях, уравновешивается висящим на блоке грузом массой m_x. При каких значениях m_x   система может находиться в равновесии?

К задаче 6

Решение: как и в предыдущей задаче, рассмотрим небольшие смещения вправо-влево и оценим, что при этом происходит.

Опрокидывание влево

Если будет небольшое отклонение влево, то самая правая нить провиснет и не будет действовать на рычаг. Тогда уравнение моментов запишется как

    \[\frac{m_xg}{2}\cdot x=mg\cdot 2x\]

Или

    \[\frac{m_x}{2}=2m\]

    \[m_x=4m\]

При больших m_x система опрокинется влево.

Опрокидывание вправо

Теперь немного отклоним вправо. При этом левая нить ослабнет. Уравнение моментов запишется:

    \[mgx=\frac{m_x g}{2}\cdot 2x\]

    \[m=\frac{m_x }{2}\cdot 2\]

    \[m=m_x\]

При меньших m_x система опрокинется вправо. Поэтому в итоге

    \[m\leqslant m_x\leqslant 4m\]

Ответ: m\leqslant m_x\leqslant 4m

 

Задача 7. Доска массой m лежит, выступая на \frac{3}{7} своей длины, на краю обрыва. Длина одной седьмой части доски –  1 м . К свисающему краю доски с помощью блоков и нитей прикреплен противовес, имеющий массу 4m. На каком расстоянии от края обрыва на доске может стоять человек массой 3m, чтобы доска оставалась горизонтальной?

К задаче 7

Решение.

Рассмотрим, как и в предыдущих задачах, небольшое отклонение вправо, а затем влево. Точка опоры – край обрыва.

Опрокидывание вправо

Относительно этой точки уравнение моментов

    \[mg\cdot \frac{L}{2}=3mgx_{prav}+mg\cdot 2L-2mg\cdot 3L\]

Или

    \[\frac{L}{2}=3x_{prav}+ 2L-2\cdot 3L\]

    \[3x_{prav}=6,5L-2L=4,5L\]

    \[x_{prav}=1,5L\]

Теперь человечек отходит влево, и доска приподнимается, опираясь своей крайней левой точкой.

Опрокидывание влево

Уравнение моментов относительно данной  точки опоры

    \[3mg(4L-x_{lev})+mg\cdot 3,5L+6mg\cdot L=2mg\cdot 7L\]

    \[3(4L-x_{lev})+3,5L+6\cdot L=2\cdot 7L\]

    \[3(4L-x_{lev})=14L-6L-3,5L=4,5L\]

    \[4L-x_{lev}=1,5L\]

    \[x_{lev}=2,5L\]

Итак, человек может сместиться вправо не более чем на 1,5L, и влево не более, чем на 2,5L.

Задача 8. В одной из двух опор моста установлен датчик, снимающий зависимость силы нормальной реакции опоры N от времени. По мосту проезжает поезд, движущийся с постоянной скоростью. Показания датчика представлены на графике. Мост и поезд можно считать однородными. Длина поезда l=200 м . Определите:

а)        массу моста M ;

б)        под какой из опор находится датчик;

в)        массу поезда m;

г)         длину моста L ;

д)        скорость поезда \upsilon.

К задаче 8

Решение. Рассмотрим график. Видно, что с 10-й по 20-ю секунду сила реакции постоянна. Это значит, что поезд находится на мосту, он длиннее моста и центр тяжести той его части, которая находится на мосту, расположен точно посередине моста.

Так как с начала отсчета до 5 с сила реакции равна 0 – то поезд еще не находится на мосту, поэтому сила тяжести моста распределена равномерно между его опорами – по \frac{Mg}{2}=\frac{5\cdot 10^6 \cdot 10}{2}=25\cdot 10^6 Н.
С 5 по 10-ю секунду поезд заезжает на мост.

Поезд въезжает на мост

Уравнение моментов

    \[N_A \cdot L=Mg\cdot \frac{L}{2}+mg\cdot \frac{x}{l}\left(L-\frac{x}{2}\right)\]

Делим на L:

    \[N_A=\frac{ Mg}{2}+mg\cdot \frac{x}{l}\left(1-\frac{x}{2L}\right)\]

    \[N_A=\frac{ Mg}{2}+ \frac{ mg x}{l}-\frac{mgx^2}{2lL}\]

Видим, что данная зависимость – парабола ветвями вниз. Тогда в точке B

    \[N_B=Mg-N_A\]

А это парабола ветвями вверх. На графике парабола ветвями вверх расположена с 20 по 25 с, а ветвями вниз – с 5 по 10 с. Значит, датчик находится под опорой А.

С 5 по 10 с поезд заехал на мост, значит, L=\upsilon\cdot 5. C 5-ой по 20-ю с мимо точки А прошел весь поезд: l=\upsilon \cdot 15 – то есть L=\frac{l}{3}=66,7 м.

    \[\upsilon=\frac{200}{15}=\frac{40}{3}\]

Если эту скорость перевести в км/ч, то получим 48 км/ч.

Когда весь поезд на мосту, то на опору действует, кроме \frac{Mg}{2}, еще и сила тяжести поезда \frac{mg}{2}\cdot \frac{L}{l} – а это 0,8\cdot 10^6 Н.

    \[mg=0,8\cdot 10^6\cdot 2\cdot \frac{200}{66,7}=4,8\cdot 10^6\]

Масса поезда – 480 тонн.

Ответ: масса моста – 5000 тонн, датчик находится под опорой А, масса поезда – 480 тонн, длина моста примерно 67 м, скорость поезда – 48 км/ч.

 

Задача 9. Балансборд – тренажёр для тренировки чувства равновесия, представляет собой лёгкую жёсткую доску, лежащую на цилиндрическом ролике. Базовое упражнение заключается в том, чтобы сохранять равновесие, перекатываясь на ролике, при этом желательно, чтобы доска располагалась практически горизонтально. Пусть взаимодействие ступней ног с доской происходит в точках A и B , и положение точек A и B относительно доски не меняется при выполнении упражнения. Ролик по полу и по доске не проскальзывает. В крайнем правом положении расстояния по горизонтали между точками A и B и вертикальной прямой, на которой лежит ось ролика C ,            равны L_1 и L_2 соответственно. Человек перекатывается      в          крайнее            левое            положение,           в котором расстояние между точкой A и C по горизонтали становится равным L_2.

а)       На какое расстояние по горизонтали смещается центр масс человека: относительно доски; относительно земли?

б)        На какое расстояние по горизонтали смещается точка A?

К задаче 9

Решение.

По сравнению с массой человека массой доски можно пренебречь.

Если центр масс человека находится не над точкой C, то доска начинает опрокидываться (так как по условию трения нет). В реальности в присутствии трения небольшие углы отклонения могут быть и при этом равновесие сохранится.

Перейдем в систему отсчета, связанную с точкой C. В этой системе отсчета центр колеса неподвижен. Доска смещается на L_1-L_2 вправо, земля – на L_1-L_2 влево, центр масс человека неподвижен и всегда над точкой C. Так как доска смещается на L_1-L_2 вправо, то центр масс смещается относительно нее на L_1-L_2 влево. Аналогично, так как земля смещается на L_1-L_2 влево, то центр масс человека относительно земли смещается на L_1-L_2 вправо.

Точка A смещается относительно точки C вправо на L_1-L_2, а земля влево на L_1-L_2, значит, точка A относительно земли смещается вправо на 2(L_1-L_2).

Ответ: центр масс человека смещается относительно доски на L_1-L_2 влево, относительно земли – на L_1-L_2 вправо. Точка A смещается на 2(L_1-L_2) вправо.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *