Статика в случае параллельных сил - 2

Еще несколько задач на статику, и опять из хорошего лицея Москвы.

Задача 5.  При каких массах груза возможно равновесие однородного рычага массы ? Штрихами рычаг делится на 7 одинаковых частей.

Решение. Рычаг может опрокинуться как влево, так и вправо. Поэтому произведем малые смещения в обе стороны, и составим для обеих ситуаций уравнения моментов.

Если рычаг начнет опрокидываться влево, в правой части нить провиснет и не будет уже воздействовать на наш рычаг. В этом случае уравнение моментов будет таким:

Где - длина одного деления на рычаге.

Имеем:

Или

Тогда, чтобы не было опрокидывания влево, нужно, чтобы

Теперь представим, что все опрокидывается вправо.

Правый груз приподнимется нитью и не будет давить на рычаг. И уравнение моментов  в этом случае таково:

Следовательно,

Поскольку правая часть меньше нуля, значит, нет таких масс, которые могли бы опрокинуть систему вправо. Следовательно, ответ:  .

 

Задача 6.

Однородная рейка массой кг , подвешенная на двух

нитях, уравновешивается висящим на блоке грузом массой . При каких значениях   система может находиться в равновесии?

Решение: как и в предыдущей задаче, рассмотрим небольшие смещения вправо-влево и оценим, что при этом происходит.

Если будет небольшое отклонение влево, то самая правая нить провиснет и не будет действовать на рычаг. Тогда уравнение моментов запишется как

Или

При больших система опрокинется влево.

Теперь немного отклоним вправо. При этом левая нить ослабнет. Уравнение моментов запишется:

При меньших система опрокинется вправо. Поэтому в итоге

Ответ:

 

Задача 7.

Доска массой лежит, выступая на своей длины, на краю обрыва. Длина одной седьмой части доски -  1 м . К свисающему краю доски с помощью блоков и нитей прикреплен противовес, имеющий массу . На каком расстоянии от края обрыва на доске может стоять человек массой , чтобы доска оставалась горизонтальной?

Решение.

Рассмотрим, как и в предыдущих задачах, небольшое отклонение вправо, а затем влево. Точка опоры – край обрыва.

Относительно этой точки уравнение моментов

Или

Теперь человечек отходит влево, и доска приподнимается, опираясь своей крайней левой точкой.

Уравнение моментов относительно данной  точки опоры

Итак, человек может сместиться вправо не более чем на , и влево не более, чем на .

Задача 8.

В одной из двух опор моста установлен датчик, снимающий зависимость силы нормальной реакции опоры от времени. По мосту проезжает поезд, движущийся с постоянной скоростью. Показания датчика представлены на графике. Мост и поезд можно считать однородными. Длина поезда м . Определите:

а)        массу моста ;

б)        под какой из опор находится датчик;

в)        массу поезда ;

г)         длину моста ;

д)        скорость поезда .

Решение. Рассмотрим график. Видно, что с 10-й по 20-ю секунду сила реакции постоянна. Это значит, что поезд находится на мосту, он длиннее моста и центр тяжести той его части, которая находится на мосту, расположен точно посередине моста.

Так как с начала отсчета до 5 с сила реакции равна 0 – то поезд еще не находится на мосту, поэтому сила тяжести моста распределена равномерно между его опорами – по Н.
С 5 по 10-ю секунду поезд заезжает на мост.

Уравнение моментов

Делим на :

Видим, что данная зависимость – парабола ветвями вниз. Тогда в точке

А это парабола ветвями вверх. На графике парабола ветвями вверх расположена с 20 по 25 с, а ветвями вниз – с 5 по 10 с. Значит, датчик находится под опорой А.

С 5 по 10 с поезд заехал на мост, значит, . C 5-ой по 20-ю с мимо точки А прошел весь поезд: - то есть м.

Если эту скорость перевести в км/ч, то получим 48 км/ч.

Когда весь поезд на мосту, то на опору действует, кроме , еще и сила тяжести поезда - а это Н.

Масса поезда – 480 тонн.

Ответ: масса моста – 5000 тонн, датчик находится под опорой А, масса поезда – 480 тонн, длина моста примерно 67 м, скорость поезда – 48 км/ч.

 

Задача 9.

Балансборд – тренажёр для тренировки чувства равновесия, представляет собой лёгкую жёсткую доску, лежащую на цилиндрическом ролике. Базовое упражнение заключается в том, чтобы сохранять равновесие, перекатываясь на ролике, при этом желательно, чтобы доска располагалась практически горизонтально. Пусть взаимодействие ступней ног с доской происходит в точках A и B , и положение точек A и B относительно доски не меняется при выполнении упражнения. Ролик по полу и по доске не проскальзывает. В крайнем правом положении расстояния по горизонтали между точками A и B и вертикальной прямой, на которой лежит ось ролика C ,            равны и соответственно. Человек перекатывается      в          крайнее            левое            положение,           в котором расстояние между точкой A и C по горизонтали становится равным .

а)       На какое расстояние по горизонтали смещается центр масс человека: относительно доски; относительно земли?

б)        На какое расстояние по горизонтали смещается точка A?

Решение.

По сравнению с массой человека массой доски можно пренебречь.

Если центр масс человека находится не над точкой , то доска начинает опрокидываться (так как по условию трения нет). В реальности в присутствии трения небольшие углы отклонения могут быть и при этом равновесие сохранится.

Перейдем в систему отсчета, связанную с точкой . В этой системе отсчета центр колеса неподвижен. Доска смещается на вправо, земля – на влево, центр масс человека неподвижен и всегда над точкой . Так как доска смещается на вправо, то центр масс смещается относительно нее на влево. Аналогично, так как земля смещается на влево, то центр масс человека относительно земли смещается на вправо.

Точка смещается относительно точки вправо на , а земля влево на , значит, точка относительно земли смещается вправо на .

Ответ: центр масс человека смещается относительно доски на влево, относительно земли - на вправо. Точка смещается на вправо.