Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Квадратная решетка (3)

8 способов найти площадь одного треугольника

Доброго дня всем читателям! В этой статье представлены 8 решений одной и той же задачи, великодушно предоставленные моими замечательными и очень талантливыми коллегами, которыми я не устаю восхищаться. С их ведома и разрешения эта статья увидела свет. Итак, встречайте!

ЗадачаОпределить площадь треугольника, изображенного на клетчатой решетке.

Задача: найти площадь данного треугольника

Решение 1. По формуле Пика.

По формуле Пика

А вы знали, что с помощью данной формулы можно находить площади фигур, даже если их вершины не совпадают с узлами решетки?

    \[S=4+\frac{4}{2}-1\]

Ответ: 5.

Решение 2, предложенное Людмилой Скрипкой и Галиной Анатольевной Шереметьевой одновременно.

Решение Галины Анатольевны Шереметьевой.

    \[S_{ADB}=\frac{DB\cdot H}{2}\]

Высота треугольника ADB равна 6 клеткам, поэтому

    \[S_{ADB}=\frac{2\cdot 6}{2}=6\]

    \[S_{СDB}=\frac{DB\cdot h}{2}\]

Высота треугольника CDB равна 1 клетке, поэтому

    \[S_{СDB}=\frac{2\cdot 1}{2}=1\]

    \[S_{ABC}=S_{ADB}-S_{СDB}=6-1=5\]

Ответ: 5.

Решение 3, предложенное коллегой, попросившей ее не упоминать.

Решение 3.

Искомая площадь  треугольника состоит из двух площадей: белого треугольника, и зеленого. Площадь белого найти не проблема: его основание 3, высота – две клетки. Сложность в определении площади зеленого треугольника. Делаем дополнительное построение, как показано на рисунке. Закрашенные треугольники подобны, по отношению длин оснований видно, что коэффициент подобия – 2. Поэтому отношение их высот (у синего высота – H, у зеленого – h) – 2.

    \[\frac{H}{h}=2\]

Но сумма высот закрашенных треугольников равна 4, то есть

    \[H+h=4\]

Или, с учетом коэффициента подобия,

    \[2h+h=4\]

    \[h=\frac{4}{3}\]

Тогда площадь зеленого треугольника равна 3\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=2, и полная искомая площадь – 5.

Ответ: 5.

Решение 4, предложенное Шагиным Вадимом Львовичем:

Решение 4, предложенное Шагиным Вадимом Львовичем:

Вадим Львович предлагает найти высоту треугольника DCB через тангенс угла \angle CDB. А его удобно определить в треугольнике ADE.

    \[\operatorname{tg}DAE=\operatorname{tg}CDB=\frac{2}{3}\]

Таким образом, высота треугольника DCB равна

    \[h=2\operatorname{tg}CDB=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\]

Тогда площадь  треугольника DCB равна 3\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{1}{2}=2, и полная искомая площадь – 5 (с учетом площади ADB, найденной ранее).

Ответ: 5.

Решение 5, предложенное Олегом Владимировичем Сухановым:

Решение 5, предложенное Олегом Владимировичем Сухановым

Площадь треугольника ADE равна

    \[S_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot AE\cdot \sin DAE\]

Но эту площадь можно найти и так:

    \[S_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot DE\cdot H=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 3=\frac{3}{2}\]

Треугольник ABC имеет общий угол с треугольником ADE, поэтому их площади относятся так же, как относятся произведения длин их сторон:

    \[\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot \sin DAE}{\frac{1}{2}\cdot AD\cdot AE\cdot \sin DAE}=\frac{AC\cdot AB}{AD\cdot AE}\]

Но AE=\frac{1}{2}AB и AD=\frac{3}{5}AC, поэтому

    \[\frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}=\frac{AC\cdot AB}{AD\cdot AE}=\frac{5}{3}\cdot 2=\frac{10}{3}\]

Следовательно,

    \[S_{ABC}=S_{ADE}\cdot\frac{10}{3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{10}{3}=5\]

Ответ: 5.

Решение 6, предложенное Олегом Владимировичем Сухановым, с помощью  векторов:

Решение 6, предложенное Олегом Владимировичем Сухановым, векторное

Введем систему координат с началом в точке А, как показано на рисунке. Тогда вектор \vec{AD} имеет координаты (3;2), а вектор \vec{AB} имеет координаты (6;2).

Скалярное произведение указанных векторов равно

    \[\vec{AD}\cdot\vec{AB}=3\cdot6+2\cdot2=22\]

С другой стороны, длина вектора \vec{AD} по теореме Пифагора равна

    \[AD=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\]

длина вектора \vec{AB} по теореме Пифагора равна

    \[AB=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}\]

Скалярное произведение данных векторов равно

    \[\vec{AD}\cdot\vec{AB}=AD\cdot AB\cdot\cos{DAB}=22\]

    \[\sqrt{13}\cdot \sqrt{40}\cdot\cos{DAB}=22\]

    \[\cos{DAB}=\frac{22}{2\sqrt{13}\cdot \sqrt{10}}=\frac{11}{\sqrt{130}}\]

Теперь определим синус угла DAB через основное тригонометрическое тождество:

    \[\sin{DAB}=\sqrt{1-\cos^2{DAB}}=\sqrt{1-\frac{121}{130}}=\sqrt{\frac{9}{130}}=\frac{3}{\sqrt{130}}\]

Заметим, что

    \[AC=\frac{5}{3}AD=\frac{5}{3}\sqrt{13}\]

Здесь длина AD определена по теореме Пифагора.

Наконец, можно определить площадь треугольника ABC:

    \[S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot \sin DAB=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{3}\sqrt{13}\cdot2\sqrt{10}\cdot\frac{3}{\sqrt{130}}=5\]

Ответ: 5.

Решение 7, предложенное Бениамином Агоповичем Азаровым:

Решение 7, предложенное Бениамином Агоповичем Азаровым

    \[\frac{S_{CAD}}{S_{ABC}}=\frac{CD}{BC}=\frac{CE}{CF}=\frac{3}{5}\]

S_{CAD}=3, поэтому S_{ABC}=5.

Ответ: 5.

Наконец, решение 8 – по теореме косинусов для треугольника ADC. Найти косинус угла ACD на картинке выше, затем его синус через основное тригонометрическое тождество, далее решение совпадает с решением 6.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *