Предлагаю решение двух похожих, но немного разных задач с параметром из сборника Мальцева.
Задача 1. При каких значениях параметра уравнение
Имеет 5 решений?
Давайте введем замену: . Тогда уравнение можно переписать:
Теперь исследуем функцию . Для этого возьмем производную, чтобы определить точки экстремумов:
Производная равна нулю при и при
. Тогда функция принимает значения
И
Сделаем эскиз функции :

К задаче 1
Чтобы исходное уравнение имело бы пять корней, нужно, чтобы одно значение давало бы два корня, а другое – три. Корни в данном случае – пересечения горизонтальных прямых на эскизе с функцией. Надо, чтобы одна из прямых прошла бы через любой из экстремумов – максимум или минимум, а вторая – между ними.
Найдем значения :
Это означает, что либо , а
, либо
, а
Если , то
По Виету корни 3 и 9, но их еще надо проверить!
При получим
Эти два корня принадлежат промежутку , следовательно, это значение параметра берем в ответ.
При получим
Теперь мы в нужный промежуток не попали, то есть это значение параметра не подойдет.
Теперь рассматриваем случай :
Определим дискриминант:
То есть в этом случае нет корней, и остается одно значение параметра, найденное нами ранее – это 9.
Ответ: 9.
Задача 2. При каких значениях параметра уравнение
Имеет 6 различных решений?
Давайте введем замену: . Тогда уравнение можно переписать:
Теперь исследуем функцию . Для этого возьмем производную, чтобы определить точки экстремумов:
Производная равна нулю при и при
. Тогда функция принимает значения
И
Сделаем эскиз функции :

К задаче 2
Чтобы исходное уравнение имело шесть корней, нужно, чтобы одно значение давало бы три корня, и другое – три. Корни в данном случае – пересечения горизонтальных прямых на эскизе с функцией. Надо, чтобы ни одна из прямых не прошла бы через экстремум – максимум или минимум, а обе прошли бы между ними.
Найдем значения :
Если в уравнении (4) – будем иметь 6 корней.
Применим теорему о расположении корней квадратного трехчлена.

Расположение корней квадратного трехчлена
Запишем устраивающие нас условия для уравнения (4):
Первое – выполняется всегда: , второе:
Определим дискриминант:
Здесь дискриминант
Тогда условие неотрицательности дискриминанта уравнения (4) будет выполнено, если . Это условие должно выполняться одновременно с
.
Проверка показывает, что при получаем два корня – 2 и 4 – один из которых принадлежит промежутку (1; 4), другой – на границе. При
корень один, и он в нужном промежутке, при
корни в нужный промежуток не попадают, поэтому это значение параметра и значения больше него не подойдут.
Итак, обобщая, записываем ответ: .
В авторском решении пуля летит вниз под углом к горизонту. По тексту задачи этого...
Добрый день, почему мы не учитываем вертикальную составляющую скорости системы...
[latexpage] Это объемы, которые я сократила на площадь сечения $S$. Вначале правый сосуд...
Анна, а почему в 27 задании для изотермического процесса умножаем p0 на ho? ведь...
Конечно, нет. Спасибо за...