[latexpage]
Предлагаю решение двух похожих, но немного разных задач с параметром из сборника Мальцева.
Задача 1. При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$5^{x^3-6x^2+34}-(a+2)\cdot {\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}+a^2-7a+12=0~~~(1)$$
Имеет 5 решений?
Давайте введем замену: $t={\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}$. Тогда уравнение можно переписать:
$$t^2-(a+2)t+a^2-7a+12=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$
Теперь исследуем функцию $f(x)= x^3-6x^2+34$. Для этого возьмем производную, чтобы определить точки экстремумов:
$$f’(x)=3x^2-12x$$
Производная равна нулю при $x=0$ и при $x=4$. Тогда функция принимает значения
$$f(0)=34$$
И
$$f(4)=2$$
Сделаем эскиз функции $f(x)$:

К задаче 1
Чтобы исходное уравнение имело бы пять корней, нужно, чтобы одно значение $t$ давало бы два корня, а другое – три. Корни в данном случае – пересечения горизонтальных прямых на эскизе с функцией. Надо, чтобы одна из прямых прошла бы через любой из экстремумов – максимум или минимум, а вторая – между ними.
Найдем значения $t$:
$$t(0)=\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}=\sqrt{5}}^{34}=5^{17}$$
$$t(4)=\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}=5^1=5$$
Это означает, что либо $t_1=5^{17}$, а $t_2 \in (5; 5^{17})$, либо $t_1=5$, а $t_2 \in (5; 5^{17})$
Если $t_1=5$, то
$$25-(a+2)\cdot5+a^2-7a+12=0$$
$$a^2-12a+27=0$$
По Виету корни 3 и 9, но их еще надо проверить!
При $a=9$ получим
$$t^2-11t+30=0$$
$$t_1=5$$
$$t_2=6$$
Эти два корня принадлежат промежутку $(5; 5^{17})$, следовательно, это значение параметра берем в ответ.
При $a=3$ получим
$$t^2-5t=0$$
$$t_1=0$$
$$t_2=5$$
Теперь мы в нужный промежуток не попали, то есть это значение параметра не подойдет.
Теперь рассматриваем случай $t_1=5^{17}$:
$$5^{34}-(a+2)\cdot 5^{17}+a^2-7a+12=0$$
$$5^{34}-a\cdot 5^{17}-2\cdot 5^{17}+a^2-7a+12=0$$
$$ a^2-a(5^{17}+7)+ 5^{34}-2\cdot 5^{17}+12=0$$
Определим дискриминант:
$$D=(5^{17}+7)^2-4(5^{34}-2\cdot 5^{17}+12)<0$$
То есть в этом случае нет корней, и остается одно значение параметра, найденное нами ранее – это 9.
Ответ: 9.
Задача 2. При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$2^{x^3-3x^2+4}+(a-10)\cdot {\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4} -a+12=0~~~(3)$$
Имеет 6 различных решений?
Давайте введем замену: $t={\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4}$. Тогда уравнение можно переписать:
$$t^2+(a-10)t-a+12=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$$
Теперь исследуем функцию $f(x)= x^3-3x^2+4$. Для этого возьмем производную, чтобы определить точки экстремумов:
$$f’(x)=3x^2-6x$$
Производная равна нулю при $x=0$ и при $x=2$. Тогда функция принимает значения
$$f(0)=4$$
И
$$f(2)=0$$
Сделаем эскиз функции $f(x)$:

К задаче 2
Чтобы исходное уравнение имело шесть корней, нужно, чтобы одно значение $t$ давало бы три корня, и другое – три. Корни в данном случае – пересечения горизонтальных прямых на эскизе с функцией. Надо, чтобы ни одна из прямых не прошла бы через экстремум – максимум или минимум, а обе прошли бы между ними.
Найдем значения $t$:
$$t(0)=\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4}=\sqrt{2}}^{4}=4$$
$$t(2)=\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4}=\sqrt{2}}^{0}=1$$
Если в уравнении (4) $t_1, t_2 \in (1; 4)$ – будем иметь 6 корней.
Применим теорему о расположении корней квадратного трехчлена.

Расположение корней квадратного трехчлена
Запишем устраивающие нас условия для уравнения (4):
$$\begin{Bmatrix}{ F(t_1)>0}\\{ F(t_2)>0}\\{D\geqslant 0}\end{matrix}$$
Первое – выполняется всегда: $ f(t_1)=1+a-10+12-a>0$, второе:
$$ f(4)=4^2+4(a-10)-a+12>0$$
$$-12+3a>0$$
$$a>4$$
Определим дискриминант:
$$D=(a-10)^2-4(12-a)\geqslant 0$$
$$a^2-16a+52\geqslant 0$$
Здесь дискриминант
$$D=256-4\cdot 52=48$$
$$a_{1,2}=\frac{16 \pm \sqrt{48}}{2}=8\pm 2\sqrt{3}$$
Тогда условие неотрицательности дискриминанта уравнения (4) будет выполнено, если $a \in (-\infty; 8- 2\sqrt{3}] \cup [8+2\sqrt{3}; +\infty)$. Это условие должно выполняться одновременно с $a>4$.
Проверка показывает, что при $a=4$ получаем два корня – 2 и 4 – один из которых принадлежит промежутку (1; 4), другой – на границе. При $a=8-2\sqrt{3}$ корень один, и он в нужном промежутке, при $a=8+2\sqrt{3}$ корни в нужный промежуток не попадают, поэтому это значение параметра и значения больше него не подойдут.
Итак, обобщая, записываем ответ: $a \in (4; 8- 2\sqrt{3})$.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...