Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Две похожие и разные задачи с параметром

Предлагаю решение двух похожих, но немного разных задач с параметром из сборника Мальцева.

Задача 1. При каких значениях параметра a уравнение

    \[5^{x^3-6x^2+34}-(a+2)\cdot {\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}+a^2-7a+12=0~~~(1)\]

Имеет 5 решений?

Давайте введем замену: t={\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}. Тогда уравнение можно переписать:

    \[t^2-(a+2)t+a^2-7a+12=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Теперь исследуем функцию f(x)= x^3-6x^2+34. Для этого возьмем производную, чтобы определить точки экстремумов:

    \[f'(x)=3x^2-12x\]

Производная равна нулю при x=0 и при x=4. Тогда функция принимает значения

    \[f(0)=34\]

И

    \[f(4)=2\]

Сделаем эскиз функции f(x):

К задаче 1

Чтобы исходное уравнение имело бы пять корней, нужно, чтобы одно значение t давало бы два корня, а другое – три. Корни в данном случае – пересечения горизонтальных прямых на эскизе с функцией. Надо, чтобы одна из прямых прошла бы через любой из экстремумов – максимум или минимум, а вторая – между ними.

Найдем значения t:

    \[t(0)=\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}=\sqrt{5}}^{34}=5^{17}\]

    \[t(4)=\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}=5^1=5\]

Это означает, что либо t_1=5^{17}, а t_2 \in (5; 5^{17}), либо t_1=5, а t_2 \in (5; 5^{17})

Если t_1=5, то

    \[25-(a+2)\cdot5+a^2-7a+12=0\]

    \[a^2-12a+27=0\]

По Виету корни 3 и 9, но их еще надо проверить!

При a=9 получим

    \[t^2-11t+30=0\]

    \[t_1=5\]

    \[t_2=6\]

Эти два корня принадлежат промежутку (5; 5^{17}), следовательно, это значение параметра берем в ответ.

При a=3 получим

    \[t^2-5t=0\]

    \[t_1=0\]

    \[t_2=5\]

Теперь мы в нужный промежуток не попали, то есть это значение параметра не подойдет.

Теперь рассматриваем случай  t_1=5^{17}:

    \[5^{34}-(a+2)\cdot 5^{17}+a^2-7a+12=0\]

    \[5^{34}-a\cdot 5^{17}-2\cdot 5^{17}+a^2-7a+12=0\]

    \[a^2-a(5^{17}+7)+ 5^{34}-2\cdot 5^{17}+12=0\]

Определим дискриминант:

    \[D=(5^{17}+7)^2-4(5^{34}-2\cdot 5^{17}+12)<0\]

То есть в этом случае нет корней, и остается одно значение параметра, найденное нами ранее – это 9.

Ответ: 9.

Задача 2. При каких значениях параметра a уравнение

    \[2^{x^3-3x^2+4}+(a-10)\cdot {\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4} -a+12=0~~~(3)\]

Имеет 6 различных решений?

Давайте введем замену: t={\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4}. Тогда уравнение можно переписать:

    \[t^2+(a-10)t-a+12=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)\]

Теперь исследуем функцию f(x)= x^3-3x^2+4. Для этого возьмем производную, чтобы определить точки экстремумов:

    \[f'(x)=3x^2-6x\]

Производная равна нулю при x=0 и при x=2. Тогда функция принимает значения

    \[f(0)=4\]

И

    \[f(2)=0\]

Сделаем эскиз функции f(x):

К задаче 2

Чтобы исходное уравнение имело шесть корней, нужно, чтобы одно значение t давало бы три корня, и другое – три. Корни в данном случае – пересечения горизонтальных прямых на эскизе с функцией. Надо, чтобы ни одна из прямых не прошла бы через экстремум – максимум или минимум, а обе прошли бы между ними.

Найдем значения t:

    \[t(0)=\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4}=\sqrt{2}}^{4}=4\]

    \[t(2)=\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4}=\sqrt{2}}^{0}=1\]

Если в уравнении (4) t_1, t_2 \in (1; 4) – будем иметь 6 корней.

Применим теорему о расположении корней квадратного трехчлена.

Расположение корней квадратного трехчлена

 

Запишем устраивающие нас условия для уравнения (4):

    \[\begin{Bmatrix}{ F(t_1)>0}\\{ F(t_2)>0}\\{D\geqslant 0}\end{matrix}\]

Первое – выполняется всегда: f(t_1)=1+a-10+12-a>0, второе:

    \[f(4)=4^2+4(a-10)-a+12>0\]

    \[-12+3a>0\]

    \[a>4\]

Определим дискриминант:

    \[D=(a-10)^2-4(12-a)\geqslant 0\]

    \[a^2-16a+52\geqslant 0\]

Здесь дискриминант

    \[D=256-4\cdot 52=48\]

    \[a_{1,2}=\frac{16 \pm \sqrt{48}}{2}=8\pm 2\sqrt{3}\]

Тогда условие неотрицательности дискриминанта уравнения (4) будет выполнено, если a \in (-\infty; 8- 2\sqrt{3}] \cup [8+2\sqrt{3}; +\infty). Это условие должно выполняться одновременно с a>4.

Проверка показывает, что при a=4 получаем два корня – 2 и 4 – один из которых принадлежит промежутку (1; 4), другой  – на границе. При a=8-2\sqrt{3} корень один, и он в нужном промежутке, при a=8+2\sqrt{3} корни в нужный промежуток не попадают, поэтому это значение параметра и значения больше него не подойдут.

Итак, обобщая, записываем ответ: a \in (4; 8- 2\sqrt{3}).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *