Две похожие и разные задачи с параметром

[latexpage]

Предлагаю решение двух похожих, но немного разных задач с параметром из сборника Мальцева.

Задача 1. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$$5^{x^3-6x^2+34}-(a+2)\cdot {\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}+a^2-7a+12=0~~~(1)$$

Имеет 5 решений?

Давайте введем замену: $t={\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}$. Тогда уравнение можно переписать:

$$t^2-(a+2)t+a^2-7a+12=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Теперь исследуем функцию $f(x)= x^3-6x^2+34$. Для этого возьмем производную, чтобы определить точки экстремумов:

$$f’(x)=3x^2-12x$$

Производная равна нулю при $x=0$ и при $x=4$. Тогда функция принимает значения

$$f(0)=34$$

И

$$f(4)=2$$

Сделаем эскиз функции $f(x)$:

К задаче 1

Чтобы исходное уравнение имело бы пять корней, нужно, чтобы одно значение $t$ давало бы два корня, а другое – три. Корни в данном случае – пересечения горизонтальных прямых на эскизе с функцией. Надо, чтобы одна из прямых прошла бы через любой из экстремумов – максимум или минимум, а вторая – между ними.

Найдем значения $t$:

$$t(0)=\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}=\sqrt{5}}^{34}=5^{17}$$

$$t(4)=\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}=5^1=5$$

Это означает, что либо $t_1=5^{17}$, а $t_2 \in (5; 5^{17})$, либо $t_1=5$, а $t_2 \in (5; 5^{17})$

Если $t_1=5$, то

$$25-(a+2)\cdot5+a^2-7a+12=0$$

$$a^2-12a+27=0$$

По Виету корни 3 и 9, но их еще надо проверить!

При $a=9$ получим

$$t^2-11t+30=0$$

$$t_1=5$$

$$t_2=6$$

Эти два корня принадлежат промежутку $(5; 5^{17})$, следовательно, это значение параметра берем в ответ.

При $a=3$ получим

$$t^2-5t=0$$

$$t_1=0$$

$$t_2=5$$

Теперь мы в нужный промежуток не попали, то есть это значение параметра не подойдет.

Теперь рассматриваем случай  $t_1=5^{17}$:

$$5^{34}-(a+2)\cdot 5^{17}+a^2-7a+12=0$$

$$5^{34}-a\cdot 5^{17}-2\cdot 5^{17}+a^2-7a+12=0$$

$$ a^2-a(5^{17}+7)+ 5^{34}-2\cdot 5^{17}+12=0$$

Определим дискриминант:

$$D=(5^{17}+7)^2-4(5^{34}-2\cdot 5^{17}+12)<0$$

То есть в этом случае нет корней, и остается одно значение параметра, найденное нами ранее – это 9.

Ответ: 9.

Задача 2. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$$2^{x^3-3x^2+4}+(a-10)\cdot {\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4} -a+12=0~~~(3)$$

Имеет 6 различных решений?

Давайте введем замену: $t={\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4}$. Тогда уравнение можно переписать:

$$t^2+(a-10)t-a+12=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$$

Теперь исследуем функцию $f(x)= x^3-3x^2+4$. Для этого возьмем производную, чтобы определить точки экстремумов:

$$f’(x)=3x^2-6x$$

Производная равна нулю при $x=0$ и при $x=2$. Тогда функция принимает значения

$$f(0)=4$$

И

$$f(2)=0$$

Сделаем эскиз функции $f(x)$:

К задаче 2

Чтобы исходное уравнение имело шесть корней, нужно, чтобы одно значение $t$ давало бы три корня, и другое – три. Корни в данном случае – пересечения горизонтальных прямых на эскизе с функцией. Надо, чтобы ни одна из прямых не прошла бы через экстремум – максимум или минимум, а обе прошли бы между ними.

Найдем значения $t$:

$$t(0)=\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4}=\sqrt{2}}^{4}=4$$

$$t(2)=\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4}=\sqrt{2}}^{0}=1$$

Если в уравнении (4) $t_1, t_2 \in (1; 4)$ – будем иметь 6 корней.

Применим теорему о расположении корней квадратного трехчлена.

Расположение корней квадратного трехчлена

Запишем устраивающие нас условия для уравнения (4):

$$\begin{Bmatrix}{ F(t_1)>0}\\{ F(t_2)>0}\\{D\geqslant 0}\end{matrix}$$

Первое – выполняется всегда: $ f(t_1)=1+a-10+12-a>0$, второе:

$$ f(4)=4^2+4(a-10)-a+12>0$$

$$-12+3a>0$$

$$a>4$$

Определим дискриминант:

$$D=(a-10)^2-4(12-a)\geqslant 0$$

$$a^2-16a+52\geqslant 0$$

Здесь дискриминант

$$D=256-4\cdot 52=48$$

$$a_{1,2}=\frac{16 \pm \sqrt{48}}{2}=8\pm 2\sqrt{3}$$

Тогда условие неотрицательности дискриминанта уравнения (4) будет выполнено, если $a \in (-\infty; 8- 2\sqrt{3}] \cup [8+2\sqrt{3}; +\infty)$. Это условие должно выполняться одновременно с $a>4$.

Проверка показывает, что при $a=4$ получаем два корня – 2 и 4 – один из которых принадлежит промежутку (1; 4), другой  – на границе. При $a=8-2\sqrt{3}$ корень один, и он в нужном промежутке, при $a=8+2\sqrt{3}$ корни в нужный промежуток не попадают, поэтому это значение параметра и значения больше него не подойдут.

Итак, обобщая, записываем ответ: $a \in (4; 8- 2\sqrt{3})$.