Две похожие и разные задачи с параметром

Предлагаю решение двух похожих, но немного разных задач с параметром из сборника Мальцева.

Задача 1. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$5^{x^3-6x^2+34}-(a+2)\cdot {\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}+a^2-7a+12=0~~~(1)$

Имеет 5 решений?

Давайте введем замену: $t={\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}$ . Тогда уравнение можно переписать:

$t^2-(a+2)t+a^2-7a+12=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

Теперь исследуем функцию $f(x)= x^3-6x^2+34$ . Для этого возьмем производную, чтобы определить точки экстремумов:

$f'(x)=3x^2-12x$

Производная равна нулю при $x=0$ и при $x=4$ . Тогда функция принимает значения

$f(0)=34$

$f(4)=2$

Сделаем эскиз функции $f(x)$ :

К задаче 1

Чтобы исходное уравнение имело бы пять корней, нужно, чтобы одно значение $t$ давало бы два корня, а другое – три. Корни в данном случае – пересечения горизонтальных прямых на эскизе с функцией. Надо, чтобы одна из прямых прошла бы через любой из экстремумов – максимум или минимум, а вторая – между ними.

Найдем значения $t$ :

$t(0)=\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}=\sqrt{5}}^{34}=5^{17}$

$t(4)=\sqrt{5}}^{ x^3-6x^2+34}=5^1=5$

Это означает, что либо $t_1=5^{17}$ , а $t_2 \in (5; 5^{17})$ , либо $t_1=5$ , а $t_2 \in (5; 5^{17})$

Если $t_1=5$ , то

$25-(a+2)\cdot5+a^2-7a+12=0$

$a^2-12a+27=0$

По Виету корни 3 и 9, но их еще надо проверить!

При $a=9$ получим

$t^2-11t+30=0$

$t_1=5$

$t_2=6$

Эти два корня принадлежат промежутку $(5; 5^{17})$ , следовательно, это значение параметра берем в ответ.

При $a=3$ получим

$t^2-5t=0$

$t_1=0$

$t_2=5$

Теперь мы в нужный промежуток не попали, то есть это значение параметра не подойдет.

Теперь рассматриваем случай $t_1=5^{17}$ :

$5^{34}-(a+2)\cdot 5^{17}+a^2-7a+12=0$

$5^{34}-a\cdot 5^{17}-2\cdot 5^{17}+a^2-7a+12=0$

$a^2-a(5^{17}+7)+ 5^{34}-2\cdot 5^{17}+12=0$

Определим дискриминант:

$D=(5^{17}+7)^2-4(5^{34}-2\cdot 5^{17}+12)<0$

То есть в этом случае нет корней, и остается одно значение параметра, найденное нами ранее – это 9.

Ответ: 9.

Задача 2. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$2^{x^3-3x^2+4}+(a-10)\cdot {\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4} -a+12=0~~~(3)$

Имеет 6 различных решений?

Давайте введем замену: $t={\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4}$ . Тогда уравнение можно переписать:

$t^2+(a-10)t-a+12=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$

Теперь исследуем функцию $f(x)= x^3-3x^2+4$ . Для этого возьмем производную, чтобы определить точки экстремумов:

$f'(x)=3x^2-6x$

Производная равна нулю при $x=0$ и при $x=2$ . Тогда функция принимает значения

$f(0)=4$

$f(2)=0$

Сделаем эскиз функции $f(x)$ :

К задаче 2

Чтобы исходное уравнение имело шесть корней, нужно, чтобы одно значение $t$ давало бы три корня, и другое – три. Корни в данном случае – пересечения горизонтальных прямых на эскизе с функцией. Надо, чтобы ни одна из прямых не прошла бы через экстремум – максимум или минимум, а обе прошли бы между ними.

Найдем значения $t$ :

$t(0)=\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4}=\sqrt{2}}^{4}=4$

$t(2)=\sqrt{2}}^{ x^3-3x^2+4}=\sqrt{2}}^{0}=1$

Если в уравнении (4) $t_1, t_2 \in (1; 4)$ – будем иметь 6 корней.

Применим теорему о расположении корней квадратного трехчлена.

Расположение корней квадратного трехчлена

Запишем устраивающие нас условия для уравнения (4):

$\begin{Bmatrix}{ F(t_1)>0}\\{ F(t_2)>0}\\{D\geqslant 0}\end{matrix}$

Первое – выполняется всегда: $f(t_1)=1+a-10+12-a>0$ , второе:

$f(4)=4^2+4(a-10)-a+12>0$

$-12+3a>0$

$a>4$

Определим дискриминант:

$D=(a-10)^2-4(12-a)\geqslant 0$

$a^2-16a+52\geqslant 0$

Здесь дискриминант

$D=256-4\cdot 52=48$

$a_{1,2}=\frac{16 \pm \sqrt{48}}{2}=8\pm 2\sqrt{3}$

Тогда условие неотрицательности дискриминанта уравнения (4) будет выполнено, если $a \in (-\infty; 8- 2\sqrt{3}] \cup [8+2\sqrt{3}; +\infty)$ . Это условие должно выполняться одновременно с $a>4$ .

Проверка показывает, что при $a=4$ получаем два корня – 2 и 4 – один из которых принадлежит промежутку (1; 4), другой – на границе. При $a=8-2\sqrt{3}$ корень один, и он в нужном промежутке, при $a=8+2\sqrt{3}$ корни в нужный промежуток не попадают, поэтому это значение параметра и значения больше него не подойдут.

Итак, обобщая, записываем ответ: $a \in (4; 8- 2\sqrt{3})$ .

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Дек
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Две похожие и разные задачи с параметром

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь