Астрономия: солнечная постоянная для Земли и других планет

[latexpage]

В этой статье собраны задачи на определение солнечной постоянной для планет и их спутников, подобранные Шатовской Натальей Евгеньевной, учителем школы 179 г. Москвы. Солнечная постоянная – количество солнечной  энергии, падающей на площадь 1 кв. метр в секунду.

Задача 1. Известно, что на расстоянии 1 а.е. от Солнца через площадку, перпендикулярную солнечным лучам, имеющую площадь 1 м², проходит поток энергии 1367 Вт (это число называют солнечной постоянной). По этим данным вычислите мощность (светимость) Солнца.

$$L=E\cdot S=E\cdot 4\pi R^2$$

Где $E$ – солнечная постоянная, $R$ – расстояние в 1 а.е. в метрах.

$$L= 1367\cdot 4\pi \cdot(149,6\cdot10^9)^2=3,84\cdot10^{26}$$

Ответ: $L=3,84\cdot10^{26}$ Вт.

Задача 2. Сколько энергии получает Земля от Солнца каждую секунду? Получите ответ в ваттах и в долях мощности Солнца.

Рассчитаем площадь поверхности планеты:

$$S=4\pi R^2$$

Солнце освещает только диск площадью $\pi R^2$, причем на каждый метр падает 1367 Дж ежесекундно. Тогда общее количество энергии, получаемой Землей в с, равно

$$E_o=E\cdot\pi R^2=\pi\cdot 1367\cdot 6378000^2=1,75\cdot10^{17}$$

Светимость Солнца – $3,86\cdot10^{26}$, тогда доля энергии Солнца, получаемая Землей, равна одной полумиллиардной приблизительно.

Ответ: $1,75\cdot10^{17}$ Вт, или $0,45\cdot10^{-9}L$.

Задача 3. Используя значение солнечной постоянной для Земли, вычислите солнечную постоянную для Венеры, если среднее расстояние от Солнца до этой планеты равно 0,732 а.е.

Рассчитаем площадь сферы радиусом 0,732 а.е. – расстояние до Венеры.

$$S=4\pi R^2=4\pi (0,732\cdot149,6\cdot10^9)^2=1,5\cdot10^{23}$$

Определим Солнечную постоянную для Венеры:

$$E=\frac{L}{S}=\frac{3,86\cdot10^{26}}{1,5\cdot10^{23}}=2573$$

Ответ: 2573 Вт.

Задача 4. На сколько процентов (в среднем) отличается количество солнечного света, падающего на Луну в фазе первой четверти и в фазе полнолуния?

Луна всегда одинаково освещена Солнцем, но неодинаково близко к нему расположена. В фазе первой четверти Луна находится на расстоянии примерно 1 а.е. от Солнца, в фазе полнолуния – в среднем на 384400 км дальше. Поэтому

$$\frac{E_{\frac{1}{4}}}{E}=\frac{S_{\frac{1}{4}}}{S}=\frac{R^2_{\frac{1}{4}}}{R^2}$$

Так как 384000 км – это 0,0026 а.е., то

$$\frac{E_{\frac{1}{4}}}{E}=\frac{(1-0,0026)^2}{1}=0,9949$$

То есть луна в в фазе первой четверти получает на 0,5% больше солнечной энергии.

Ответ: в фазе первой четверти больше на 0,5%.

Задача 5. а) Эксцентриситет земной орбиты 0,017. Во сколько раз отличается количество энергии, получаемой нашей планетой от Солнца в перигелии и афелии? б) Повторите расчёт для Марса, эксцентриситет орбиты которого 0,093.

а) рассчитаем перигельное и афелийное расстояния для Земли.

$$q=a(1-\varepsilon)=0,983a$$

$$Q=a(1+\varepsilon)=1,017a$$

Тогда, по аналогии с предыдущей задачей,

$$\frac{E_Q}{E_q}=\frac{S_Q}{S_q}=\frac{Q^2}{q^2}=\frac{1,017^2}{0,983^2}=1,07$$

Ответ: в перигелии больше на 7%.

б) рассчитаем перигельное и афелийное расстояния для Марса.

$$q=a(1-\varepsilon)=0,907a$$

$$Q=a(1+\varepsilon)=1,093a$$

Тогда, по аналогии с предыдущей задачей,

$$\frac{E_Q}{E_q}=\frac{S_Q}{S_q}=\frac{Q^2}{q^2}=\frac{1,093^2}{0,907^2}=1,45$$

Ответ: в перигелии больше на 45%.