[latexpage]
Продолжаем готовиться к олимпиадам. В этой статье, ориентированной на школьников 9 класса, предложены задачи на равноускоренное движение. При этом предполагается, что вы знакомы уже с основными формулами и законами такого движения.
Задача 1. Двигаясь равноускоренно из состояния покоя, тело проходит некоторое расстояние. Найдите отношение средней скорости тела на второй и первой половине времени движения.
Графически:

Рисунок 1
Аналитически, первый способ:
$$\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=\frac{\frac{l_2}{\tau}}{\frac{l_1}{\tau}}=\frac{l_2}{l_1}$$
$$l_1=\frac{1}{2}a\tau\cdot \tau=\frac{a\tau^2}{2}$$
$$l_2=\frac{\tau+2a\tau}{2}\cdot \tau=\frac{3a\tau^2}{2}$$
$$\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=3$$
Аналитически, второй способ:
Путь может быть определен как
$$S=\frac{\upsilon^2-\upsilon_0^2}{2a}$$
Где $\upsilon$ – конечная скорость.
Тогда
$$l_1=\frac{a^2\tau^2-0}{2 a }=\frac{a\tau^2}{2}$$
$$l_2=\frac{4a^2\tau^2-a^2\tau^2}{2a}=\frac{3a\tau^2}{2}$$
$$\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=3$$
Ответ: 3.
Задача 2. Двигаясь равноускоренно из состояния покоя, тело проходит некоторое расстояние. Найдите отношение средней скорости тела на второй половине пути к средней скорости на первой половине пути.

Рисунок 2
Через скорости:
$$\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=\frac{\frac{S}{t_2}}{\frac{S}{t_1}}=\frac{t_1}{t_2}$$
Для первого участка
$$S=\frac{1}{2}at_1\cdot t_1~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$
Для полного пути:
$$2S=\frac{1}{2}a(t_1+t_2)\cdot (t_1+t_2)~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$
Теперь подставим (1) в (2):
$$2\frac{1}{2}at_1\cdot t_1=\frac{1}{2}a(t_1+t_2)\cdot (t_1+t_2)$$
$$2 t_1^2=(t_1+t_2)^2$$
$$\sqrt{2} t_1=t_1+t_2$$
$$t_2=t_1(\sqrt{2}-1)$$
Через подобие: треугольник $ABC$ подобен $ADE$. Их площади отличаются вдвое, следовательно, коэффициент подобия равен $\sqrt{2}$, откуда
$$\frac{AE}{AC}=\frac{t_1+t_2}{t_1}=\sqrt{2}$$
$$t_2=t_1(\sqrt{2}-1)$$
$$\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$
Ответ: $\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$.
Задача 3. С вершины гладкой горки вдоль наклонной плоскости длиной $L$ толкнули со скоростью $\upsilon_0$ брусок. Через некоторое время $t_1$ он достиг основания горки. Затем тот же брусок пустили со скоростью $\upsilon_0$ вдоль наклонной горки длиной $3L$, и он скатился за время $t_2$. Во сколько раз время $t_2$ скатывания с этой горки больше времени $t_1$?
По закону сохранения энергии скорости обоих брусков в конце спуска одинаковы: так как начальная кинетическая энергия одна и та же, и потенциальная – также.
Для участка $3L$:
$$3L=\frac{\upsilon+\upsilon_0}{2}t_2$$
Для участка $L$:
$$L=\frac{\upsilon+\upsilon_0}{2}t_1$$
Разделим одно на другое, и получим:
$$\frac{t_2}{t_1}=3$$
Задача 4. Тело, пущенное вверх вдоль наклонной плоскости со скоростью 1,5 м/с, вернулось обратно со скоростью 1 м/с. Найти среднюю скорость тела на всем пути. Вверх и вниз тело двигалось с постоянными ускорениями.

Рисунок 3
Пусть эти ускорения равны $a_1$ и $a_2$. Путь, пройденный бруском, одинаков: и туда, и обратно, обозначим его $S$. Тогда средняя скорость равна
$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{\tau}$$
$$\tau=t_1+t_2$$
Площадь зеленого треугольника равна
$$S=\frac{1}{2}\upsilon_0 t_1$$
Площадь желтого:
$$S=\frac{1}{2}\upsilon t_2$$
Откуда
$$t_1=\frac{2S}{\upsilon_0 }$$
$$ t_2=\frac{2S}{\upsilon }$$
Определяем среднюю скорость:
$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{\frac{2S}{\upsilon_0 }+\frac{2S}{\upsilon }}=\frac{\upsilon_0 \upsilon}{\upsilon_0 +\upsilon }=\frac{1,5}{1,5 +1}=0,6$$

Рисунок 4
Решим эту задачу иначе: на первом участке средняя скорость равна $\frac{\upsilon_0}{2}$, а на втором $\frac{\upsilon}{2}$ (рисунок 4). Остается найти среднюю скорость на всем пути, ответ будет таким же.
Ответ: $\upsilon_{sr}=0,6$ м/с.
Задача 5. Отходящий от станции поезд на первом километре пути увеличил свою скорость на 10 м/с, а на втором – на 5 м/с. На каком километре среднее ускорение поезда было больше?

Рисунок 5
Обозначим участки пути $S$, их длина – километр. Тогда для первого участка
$$S=\frac{\Delta \upsilon_1^2}{2a_1}$$
А на втором
$$S=\frac{(\Delta \upsilon_1+\Delta \upsilon_2)^2-\Delta \upsilon_1^2}{2a_2}$$
Приравняем:
$$\frac{\Delta \upsilon_1^2}{2a_1}=\frac{(\Delta \upsilon_1+\Delta \upsilon_2)^2-\Delta \upsilon_1^2}{2a_2}$$
$$\frac{ a_2}{a_1}=\frac{(\Delta \upsilon_1+\Delta \upsilon_2)^2-\Delta \upsilon_1^2}{\Delta \upsilon_1^2 }=\frac{(10+5)^2-10^2}{10^2}=1,25$$
Ответ: на втором километре.
Задача 6. Реактивный самолет летит по прямой со скоростью $\upsilon_0=720$ км/ч. С некоторого момента самолет движется с ускорением в течение $t =10$ с и в последнюю секунду проходит путь $s=295$ м. Определить ускорение $a$ и конечную cкорость $\upsilon$ самолета.
Переведем скорость самолета в м/с: $\upsilon_0=200$ м/с.
Определим путь, пройденный самолетом за 9 с:
$$S_9=\upsilon_0\cdot9+\frac{a\cdot9^2}{2}$$
А за все 10 с равноускоренного движения самолет пройдет
$$S_{10}=\upsilon_0\cdot10+\frac{a\cdot10^2}{2}$$
Разница, очевидно, составляет 295 м:
$$S_{10}-S_9=295$$
Или
$$\upsilon_0\cdot10+\frac{a\cdot10^2}{2}-\upsilon_0\cdot9-\frac{a\cdot9^2}{2}=295$$
$$9,5a=295-200=95$$
$$a=10$$
$$\upsilon =\upsilon_0+at=200+10\cdot10=300$$
Ответ: $a=10$ м/с$^2$, $\upsilon =300$ м/с.
Задача 7. Поезд трогается с места и равноускоренно проходит мимо неподвижного пассажира. При этом первый вагон прошел мимо него за время $t_1$, а последний за время $t_2$. За какое время $t_0$ мимо пассажира прошел весь поезд, если первоначально пассажир стоял у головы поезда?
Пусть длина вагона $l$. Тогда длина первого вагона
$$l=\frac{at_1^2}{2}$$
До момента, когда последний вагон поравняется с наблюдателем, пройдет время $t_0-t_2$. За это время будет набрана скорость $a(t_0-t_2)$. Тогда длина последнего вагона равна
$$l= a(t_0-t_2)t_2+\frac{at_2^2}{2}$$
Приравняем:
$$\frac{at_1^2}{2}= a(t_0-t_2)t_2+\frac{at_2^2}{2}$$
$$t_1^2= 2(t_0-t_2)t_2+t_2^2$$
$$t_1^2= 2t_0t_2-t_2^2$$
$$t_0=\frac{ t_1^2+ t_2^2}{2t_2}$$
Ответ: $t_0=\frac{ t_1^2+ t_2^2}{2t_2}$
Задача 8. Точка начинает двигаться со скоростью $\upsilon_0 = 10$ м/с и движется равнозамедленно с ускорением $a= 2$ м/с2. Определить, какой путь пройдет точка за время $t_1 = 6,0$ с и $t_2 = 8,0$ с.
$$S_1=\upsilon_0t_1-\frac{at_1^2}{2}=10\cdot6-\frac{2\cdot6^2}{2}=24$$
$$S_2=\upsilon_0t_2-\frac{at_2^2}{2}=10\cdot8-\frac{2\cdot8^2}{2}=16$$
Ответ: 24 и 16 м.
Решили? Точно? Мы нашли перемещение! А просят найти путь! Между тем, можно заметить, что произойдет остановка. Давайте определим, где.
$$S_0=\frac{\upsilon_0^2}{2a}=25$$
Путь, пройденный телом будет равен (туда и обратно, но обратно не дошли до точки старта расстояние, равное перемещению)
$$l_1=2S_0-S_1=50-24=26$$
$$l_2=2S_0-S_2=50-16=34$$
Вот теперь верно. Ответ: 26 и 34 м.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...