Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Олимпиадная физика

Подготовка к олимпиадам по физике: 9 класс, равноускоренное движение

Продолжаем готовиться к олимпиадам. В этой статье, ориентированной на школьников 9 класса, предложены задачи на равноускоренное движение. При этом предполагается, что вы знакомы уже с основными формулами и законами такого движения.

 

Задача 1. Двигаясь равноускоренно из состояния покоя, тело проходит некоторое расстояние. Найдите отношение средней скорости тела на второй и первой половине времени движения.

Графически:

Рисунок 1

 

Аналитически, первый способ:

    \[\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=\frac{\frac{l_2}{\tau}}{\frac{l_1}{\tau}}=\frac{l_2}{l_1}\]

    \[l_1=\frac{1}{2}a\tau\cdot \tau=\frac{a\tau^2}{2}\]

    \[l_2=\frac{\tau+2a\tau}{2}\cdot \tau=\frac{3a\tau^2}{2}\]

    \[\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=3\]

 

Аналитически, второй способ:

Путь может быть определен как

    \[S=\frac{\upsilon^2-\upsilon_0^2}{2a}\]

Где \upsilon – конечная скорость.

Тогда

    \[l_1=\frac{a^2\tau^2-0}{2 a }=\frac{a\tau^2}{2}\]

    \[l_2=\frac{4a^2\tau^2-a^2\tau^2}{2a}=\frac{3a\tau^2}{2}\]

    \[\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=3\]

Ответ: 3.

Задача 2. Двигаясь равноускоренно из состояния покоя, тело проходит некоторое расстояние. Найдите отношение средней скорости тела на второй половине пути к средней скорости на первой половине пути.

Рисунок 2

Через скорости:

    \[\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=\frac{\frac{S}{t_2}}{\frac{S}{t_1}}=\frac{t_1}{t_2}\]

Для первого участка

    \[S=\frac{1}{2}at_1\cdot t_1~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Для полного пути:

    \[2S=\frac{1}{2}a(t_1+t_2)\cdot (t_1+t_2)~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\]

Теперь подставим (1) в (2):

    \[2\frac{1}{2}at_1\cdot t_1=\frac{1}{2}a(t_1+t_2)\cdot (t_1+t_2)\]

    \[2 t_1^2=(t_1+t_2)^2\]

    \[\sqrt{2} t_1=t_1+t_2\]

    \[t_2=t_1(\sqrt{2}-1)\]

Через подобие: треугольник ABC подобен ADE. Их площади отличаются вдвое, следовательно, коэффициент подобия равен \sqrt{2}, откуда

    \[\frac{AE}{AC}=\frac{t_1+t_2}{t_1}=\sqrt{2}\]

    \[t_2=t_1(\sqrt{2}-1)\]

    \[\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\]

Ответ: \frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}.

Задача 3.  С вершины гладкой горки вдоль наклонной плоскости длиной L толкнули со скоростью \upsilon_0 брусок. Через некоторое время t_1 он достиг основания горки. Затем тот же брусок пустили со скоростью \upsilon_0  вдоль наклонной горки длиной 3L, и он скатился за время t_2. Во сколько раз время t_2 скатывания с этой горки больше времени t_1?

 

По закону сохранения энергии скорости обоих брусков в конце спуска одинаковы: так как начальная кинетическая энергия одна и та же, и потенциальная – также.

Для участка 3L:

    \[3L=\frac{\upsilon+\upsilon_0}{2}t_2\]

Для участка L:

    \[L=\frac{\upsilon+\upsilon_0}{2}t_1\]

Разделим одно на другое, и получим:

    \[\frac{t_2}{t_1}=3\]

Задача 4. Тело, пущенное вверх вдоль наклонной плоскости со скоростью 1,5 м/с, вернулось обратно со скоростью 1 м/с. Найти среднюю скорость тела на всем пути. Вверх и вниз тело двигалось с постоянными ускорениями.

Рисунок 3

Пусть эти ускорения равны a_1 и a_2. Путь, пройденный бруском, одинаков: и туда, и обратно, обозначим его S. Тогда средняя скорость равна

    \[\upsilon_{sr}=\frac{2S}{\tau}\]

    \[\tau=t_1+t_2\]

Площадь зеленого треугольника равна

    \[S=\frac{1}{2}\upsilon_0 t_1\]

Площадь желтого:

    \[S=\frac{1}{2}\upsilon t_2\]

Откуда

    \[t_1=\frac{2S}{\upsilon_0 }\]

    \[t_2=\frac{2S}{\upsilon }\]

Определяем среднюю скорость:

    \[\upsilon_{sr}=\frac{2S}{\frac{2S}{\upsilon_0 }+\frac{2S}{\upsilon }}=\frac{\upsilon_0 \upsilon}{\upsilon_0 +\upsilon }=\frac{1,5}{1,5 +1}=0,6\]

Рисунок 4

Решим эту задачу иначе: на первом участке средняя скорость равна \frac{\upsilon_0}{2}, а на втором \frac{\upsilon}{2} (рисунок 4). Остается найти среднюю скорость на всем пути, ответ будет таким же.

Ответ: \upsilon_{sr}=0,6 м/с.

 

Задача 5. Отходящий от станции поезд на первом километре пути увеличил свою скорость на 10 м/с, а на втором – на 5 м/с. На каком километре среднее ускорение поезда было больше?

Рисунок 5

Обозначим участки пути S, их длина – километр. Тогда для первого участка

    \[S=\frac{\Delta \upsilon_1^2}{2a_1}\]

А на втором

    \[S=\frac{(\Delta \upsilon_1+\Delta \upsilon_2)^2-\Delta \upsilon_1^2}{2a_2}\]

Приравняем:

    \[\frac{\Delta \upsilon_1^2}{2a_1}=\frac{(\Delta \upsilon_1+\Delta \upsilon_2)^2-\Delta \upsilon_1^2}{2a_2}\]

    \[\frac{ a_2}{a_1}=\frac{(\Delta \upsilon_1+\Delta \upsilon_2)^2-\Delta \upsilon_1^2}{\Delta \upsilon_1^2 }=\frac{(10+5)^2-10^2}{10^2}=1,25\]

Ответ: на втором километре.

Задача 6. Реактивный самолет летит по прямой со скоростью \upsilon_0=720 км/ч. С некоторого момента самолет движется с ускорением в течение t =10 с и в последнюю секунду проходит путь s=295 м. Определить ускорение a и конечную cкорость \upsilon самолета.

Переведем скорость самолета в м/с: \upsilon_0=200 м/с.

Определим путь, пройденный самолетом за 9 с:

    \[S_9=\upsilon_0\cdot9+\frac{a\cdot9^2}{2}\]

А за все 10 с равноускоренного движения самолет пройдет

    \[S_{10}=\upsilon_0\cdot10+\frac{a\cdot10^2}{2}\]

Разница, очевидно, составляет 295 м:

    \[S_{10}-S_9=295\]

Или

    \[\upsilon_0\cdot10+\frac{a\cdot10^2}{2}-\upsilon_0\cdot9-\frac{a\cdot9^2}{2}=295\]

    \[9,5a=295-200=95\]

    \[a=10\]

    \[\upsilon =\upsilon_0+at=200+10\cdot10=300\]

Ответ: a=10 м/с^2, \upsilon =300 м/с.

Задача  7. Поезд трогается с места и равноускоренно проходит мимо неподвижного пассажира. При этом первый вагон прошел мимо него за время t_1, а последний за время t_2. За какое время t_0 мимо пассажира прошел весь поезд, если первоначально пассажир стоял у головы поезда?

Пусть длина вагона l. Тогда длина первого вагона

    \[l=\frac{at_1^2}{2}\]

До момента, когда последний вагон поравняется с наблюдателем, пройдет  время t_0-t_2. За это время будет набрана скорость a(t_0-t_2). Тогда длина последнего вагона равна

    \[l= a(t_0-t_2)t_2+\frac{at_2^2}{2}\]

Приравняем:

    \[\frac{at_1^2}{2}= a(t_0-t_2)t_2+\frac{at_2^2}{2}\]

    \[t_1^2= 2(t_0-t_2)t_2+t_2^2\]

    \[t_1^2= 2t_0t_2-t_2^2\]

    \[t_0=\frac{ t_1^2+ t_2^2}{2t_2}\]

Ответ: t_0=\frac{ t_1^2+ t_2^2}{2t_2}

Задача  8. Точка начинает двигаться со скоростью \upsilon_0 = 10 м/с и движется равнозамедленно с ускорением  a= 2 м/с2. Определить, какой путь пройдет точка за время t_1 = 6,0 с и t_2 = 8,0 с.

    \[S_1=\upsilon_0t_1-\frac{at_1^2}{2}=10\cdot6-\frac{2\cdot6^2}{2}=24\]

    \[S_2=\upsilon_0t_2-\frac{at_2^2}{2}=10\cdot8-\frac{2\cdot8^2}{2}=16\]

Ответ: 24 и 16 м.

Решили? Точно? Мы нашли перемещение! А просят найти путь! Между тем, можно заметить, что произойдет остановка. Давайте определим, где.

    \[S_0=\frac{\upsilon_0^2}{2a}=25\]

Путь, пройденный телом будет равен (туда и обратно, но обратно не дошли до точки старта расстояние, равное перемещению)

    \[l_1=2S_0-S_1=50-24=26\]

    \[l_2=2S_0-S_2=50-16=34\]

Вот теперь верно. Ответ: 26 и 34 м.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *