Подготовка к олимпиадам по физике: 9 класс, равноускоренное движение

[latexpage]

Продолжаем готовиться к олимпиадам. В этой статье, ориентированной на школьников 9 класса, предложены задачи на равноускоренное движение. При этом предполагается, что вы знакомы уже с основными формулами и законами такого движения.

 

Задача 1. Двигаясь равноускоренно из состояния покоя, тело проходит некоторое расстояние. Найдите отношение средней скорости тела на второй и первой половине времени движения.

Графически:

 

Аналитически, первый способ:

$$\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=\frac{\frac{l_2}{\tau}}{\frac{l_1}{\tau}}=\frac{l_2}{l_1}$$

$$l_1=\frac{1}{2}a\tau\cdot \tau=\frac{a\tau^2}{2}$$

$$l_2=\frac{\tau+2a\tau}{2}\cdot \tau=\frac{3a\tau^2}{2}$$

$$\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=3$$

 

Аналитически, второй способ:

Путь может быть определен как

$$S=\frac{\upsilon^2-\upsilon_0^2}{2a}$$

Где $\upsilon$ – конечная скорость.

Тогда

$$l_1=\frac{a^2\tau^2-0}{2 a }=\frac{a\tau^2}{2}$$

$$l_2=\frac{4a^2\tau^2-a^2\tau^2}{2a}=\frac{3a\tau^2}{2}$$

$$\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=3$$

Ответ: 3.

Задача 2. Двигаясь равноускоренно из состояния покоя, тело проходит некоторое расстояние. Найдите отношение средней скорости тела на второй половине пути к средней скорости на первой половине пути.

Через скорости:

$$\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=\frac{\frac{S}{t_2}}{\frac{S}{t_1}}=\frac{t_1}{t_2}$$

Для первого участка

$$S=\frac{1}{2}at_1\cdot t_1~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Для полного пути:

$$2S=\frac{1}{2}a(t_1+t_2)\cdot (t_1+t_2)~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Теперь подставим (1) в (2):

$$2\frac{1}{2}at_1\cdot t_1=\frac{1}{2}a(t_1+t_2)\cdot (t_1+t_2)$$

$$2 t_1^2=(t_1+t_2)^2$$

$$\sqrt{2} t_1=t_1+t_2$$

$$t_2=t_1(\sqrt{2}-1)$$

Через подобие: треугольник $ABC$ подобен $ADE$. Их площади отличаются вдвое, следовательно, коэффициент подобия равен $\sqrt{2}$, откуда

$$\frac{AE}{AC}=\frac{t_1+t_2}{t_1}=\sqrt{2}$$

$$t_2=t_1(\sqrt{2}-1)$$

$$\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$

Ответ: $\frac{\upsilon_{sr2}}{\upsilon_{sr1}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$.

Задача 3.  С вершины гладкой горки вдоль наклонной плоскости длиной $L$ толкнули со скоростью $\upsilon_0$ брусок. Через некоторое время $t_1$ он достиг основания горки. Затем тот же брусок пустили со скоростью $\upsilon_0$  вдоль наклонной горки длиной $3L$, и он скатился за время $t_2$. Во сколько раз время $t_2$ скатывания с этой горки больше времени $t_1$?

 

По закону сохранения энергии скорости обоих брусков в конце спуска одинаковы: так как начальная кинетическая энергия одна и та же, и потенциальная – также.

Для участка $3L$:

$$3L=\frac{\upsilon+\upsilon_0}{2}t_2$$

Для участка $L$:

$$L=\frac{\upsilon+\upsilon_0}{2}t_1$$

Разделим одно на другое, и получим:

$$\frac{t_2}{t_1}=3$$

Задача 4. Тело, пущенное вверх вдоль наклонной плоскости со скоростью 1,5 м/с, вернулось обратно со скоростью 1 м/с. Найти среднюю скорость тела на всем пути. Вверх и вниз тело двигалось с постоянными ускорениями.

Пусть эти ускорения равны $a_1$ и $a_2$. Путь, пройденный бруском, одинаков: и туда, и обратно, обозначим его $S$. Тогда средняя скорость равна

$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{\tau}$$

$$\tau=t_1+t_2$$

Площадь зеленого треугольника равна

$$S=\frac{1}{2}\upsilon_0 t_1$$

Площадь желтого:

$$S=\frac{1}{2}\upsilon t_2$$

Откуда

$$t_1=\frac{2S}{\upsilon_0 }$$

$$ t_2=\frac{2S}{\upsilon }$$

Определяем среднюю скорость:

$$\upsilon_{sr}=\frac{2S}{\frac{2S}{\upsilon_0 }+\frac{2S}{\upsilon }}=\frac{\upsilon_0 \upsilon}{\upsilon_0 +\upsilon }=\frac{1,5}{1,5 +1}=0,6$$

Решим эту задачу иначе: на первом участке средняя скорость равна $\frac{\upsilon_0}{2}$, а на втором $\frac{\upsilon}{2}$ (рисунок 4). Остается найти среднюю скорость на всем пути, ответ будет таким же.

Ответ: $\upsilon_{sr}=0,6$ м/с.

 

Задача 5. Отходящий от станции поезд на первом километре пути увеличил свою скорость на 10 м/с, а на втором – на 5 м/с. На каком километре среднее ускорение поезда было больше?

Обозначим участки пути $S$, их длина – километр. Тогда для первого участка

$$S=\frac{\Delta \upsilon_1^2}{2a_1}$$

А на втором

$$S=\frac{(\Delta \upsilon_1+\Delta \upsilon_2)^2-\Delta \upsilon_1^2}{2a_2}$$

Приравняем:

$$\frac{\Delta \upsilon_1^2}{2a_1}=\frac{(\Delta \upsilon_1+\Delta \upsilon_2)^2-\Delta \upsilon_1^2}{2a_2}$$

$$\frac{ a_2}{a_1}=\frac{(\Delta \upsilon_1+\Delta \upsilon_2)^2-\Delta \upsilon_1^2}{\Delta \upsilon_1^2 }=\frac{(10+5)^2-10^2}{10^2}=1,25$$

Ответ: на втором километре.

Задача 6. Реактивный самолет летит по прямой со скоростью $\upsilon_0=720$ км/ч. С некоторого момента самолет движется с ускорением в течение $t =10$ с и в последнюю секунду проходит путь $s=295$ м. Определить ускорение $a$ и конечную cкорость $\upsilon$ самолета.

Переведем скорость самолета в м/с: $\upsilon_0=200$ м/с.

Определим путь, пройденный самолетом за 9 с:

$$S_9=\upsilon_0\cdot9+\frac{a\cdot9^2}{2}$$

А за все 10 с равноускоренного движения самолет пройдет

$$S_{10}=\upsilon_0\cdot10+\frac{a\cdot10^2}{2}$$

Разница, очевидно, составляет 295 м:

$$S_{10}-S_9=295$$

Или

$$\upsilon_0\cdot10+\frac{a\cdot10^2}{2}-\upsilon_0\cdot9-\frac{a\cdot9^2}{2}=295$$

$$9,5a=295-200=95$$

$$a=10$$

$$\upsilon =\upsilon_0+at=200+10\cdot10=300$$

Ответ: $a=10$ м/с$^2$, $\upsilon =300$ м/с.

Задача  7. Поезд трогается с места и равноускоренно проходит мимо неподвижного пассажира. При этом первый вагон прошел мимо него за время $t_1$, а последний за время $t_2$. За какое время $t_0$ мимо пассажира прошел весь поезд, если первоначально пассажир стоял у головы поезда?

Пусть длина вагона $l$. Тогда длина первого вагона

$$l=\frac{at_1^2}{2}$$

До момента, когда последний вагон поравняется с наблюдателем, пройдет  время $t_0-t_2$. За это время будет набрана скорость $a(t_0-t_2)$. Тогда длина последнего вагона равна

$$l= a(t_0-t_2)t_2+\frac{at_2^2}{2}$$

Приравняем:

$$\frac{at_1^2}{2}= a(t_0-t_2)t_2+\frac{at_2^2}{2}$$

$$t_1^2= 2(t_0-t_2)t_2+t_2^2$$

$$t_1^2= 2t_0t_2-t_2^2$$

$$t_0=\frac{ t_1^2+ t_2^2}{2t_2}$$

Ответ: $t_0=\frac{ t_1^2+ t_2^2}{2t_2}$

Задача  8. Точка начинает двигаться со скоростью $\upsilon_0 = 10$ м/с и движется равнозамедленно с ускорением  $a= 2$ м/с². Определить, какой путь пройдет точка за время $t_1 = 6,0$ с и $t_2 = 8,0$ с.

$$S_1=\upsilon_0t_1-\frac{at_1^2}{2}=10\cdot6-\frac{2\cdot6^2}{2}=24$$

$$S_2=\upsilon_0t_2-\frac{at_2^2}{2}=10\cdot8-\frac{2\cdot8^2}{2}=16$$

Ответ: 24 и 16 м.

Решили? Точно? Мы нашли перемещение! А просят найти путь! Между тем, можно заметить, что произойдет остановка. Давайте определим, где.

$$S_0=\frac{\upsilon_0^2}{2a}=25$$

Путь, пройденный телом будет равен (туда и обратно, но обратно не дошли до точки старта расстояние, равное перемещению)

$$l_1=2S_0-S_1=50-24=26$$

$$l_2=2S_0-S_2=50-16=34$$

Вот теперь верно. Ответ: 26 и 34 м.