Постоянный ток: источники тока

Задачи будут связаны с наличием у источника внутреннего сопротивления, и неизбежным падением на нем напряжения. Поэтому напряжение на зажимах всегда меньше ЭДС источника.

Задача 1. Вольтметр, подключенный к зажимам источника тока, показал напряжение $U_1 = 6$ В. Когда к тем же зажимам подключили еще и резистор, вольтметр стал показывать напряжение $U_2 = 3$ В. Что покажет вольтметр, если вместо одного подключить два таких резистора, соединенных последовательно? Параллельно?

К задаче 1

Сначала вольтметр показывал только саму ЭДС источника, откуда следует вывод, что $E=6$ В ( $I=0$ , у вольтметра очень большое сопротивление). Так как далее показания изменились вдвое, то делаем вывод, что $R=r$ . Тогда напряжение и ток в цепи равны

$U_1=I_1R=I_1r=3$

$I_1=\frac{E}{2r}=\frac{U_1}{r}$

Если включить два резистора последовательно, то ток в цепи будет

$I_2=\frac{E}{3r}=\frac{2U_1}{3r}$

А напряжение

$U_3=2r\cdotI_2=2r\cdot\frac{2U_1}{3r}=\frac{4U_1}{3}=4$

Если включить два резистора параллельно, то ток в цепи будет

$I_3=\frac{E}{1,5r}=\frac{4U_1}{3r}$

А напряжение

$U_4=\frac{r}{2}\cdotI_3=\frac{r}{2}\cdot \frac{4U_1}{3r}=\frac{4U_1}{6}=2$

Ответ: при последовательном включении покажет 4 В, а при параллельном – 2 В.

К задаче 2

Задача 2. В схеме, изображенной на рисунке , $E = 20$ В, $R_1 = 1$ Ом, $R_2 = 4$ Ом и сила тока на сопротивлении $R_1$ $I_1 = 4$ А. Найти внутреннее сопротивление батареи $r$ .

Определим падение напряжения между точками $a$ и $b$ . Нам известны сопротивление и ток, так что воспользуемся законом Ома:

$U_{ab}=I_1R_1=4$

Тогда точно такое же напряжение и на резисторе $R_2$ , 4В. Определим ток через него:

$I_2=\frac{ U_{ab}}{R_2}=\frac{4}{4}=1$

Тогда в неразветвленной части цепи ток равен

$I=I_1+I_2=5$

Падение напряжения на внутреннем сопротивлении равно

$U_r=E- U_{ab}=20-4=16$

При силе тока в 5 А внутреннее сопротивление равно:

$r=\frac{ U_r }{I}=\frac{16}{5}=3,2$

Ответ: 3,2 Ом.

Задача 3. В схеме, изображенной на рисунке, $E = 4$ В, $r= 1$ Ом, $R_1 = R_2 = 2$ Ом. Найти разность потенциалов между точками А и В, т. е. $\varphi_A -\varphi_B$ .

К задаче 3

Задача, обратная предыдущей. Решим ее в общем виде. Пересчитаем сопротивления $R_1$ и $R_2$ , включенные параллельно, в одно:

$R_{AB}=\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}$

Тогда ток в цепи равен:

$I=\frac{E}{r+R_{AB}}=\frac{E}{r+\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}}=\frac{E}{\frac{r(R_1+R_2)+R_1R_2}{ r(R_1+R_2)}}= \frac{Er(R_1+R_2)}{r(R_1+R_2)+R_1R_2}$

А напряжение на зажимах $AB$ равно:

$U_{AB}=I R_{AB}=\frac{Er(R_1+R_2)}{r(R_1+R_2)+R_1R_2}\cdot \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}=\frac{ErR_1R_2}{r(R_1+R_2)+R_1R_2}$

Подставим числа:

$U_{AB}= \frac{4\cdot 1\cdot 2\cdot 2}{1(2+2)+2\cdot2}=2$

Ответ: $U_{AB}=2$ В.

Задача 4. При подключении лампочки к батарее элементов с ЭДС $E= 30$ В и внутренним сопротивлением $r = 2$ Ом напряжение на зажимах источника $U = 28$ В. Найти силу тока в цепи. Какую работу совершают сторонние силы источника за время $t = 5$ мин? Какова работа тока во внешней и внутренней частях цепи за то же время?

Так как на лампочке падает 28 В, а на сопротивлении источника 2, то очевидно, что $\frac{R}{r}=\frac{28}{2}=14$ , поэтому сопротивление лампы 28 Ом, а ток, следовательно,

$I=\frac{E}{r+R}=\frac{30}{28+2}=1$

Определим работу тока двумя способами. Первый способ:

Найдем полную работу тока:

$A=UIt=30\cdot 1\cdot 300=9000$

Так как $\frac{R}{r}=14$ , то $\frac{A_R}{A_r}=14$ , то есть 14 частей работы совершается во внешней цепи ( $A_R$ ), а одна – во внутренней ( $A_r$ ). Следовательно,

$A_r=\frac{A}{15}=\frac{9000}{15}=600$

$A_R=\frac{A}{15}\cdot14=\frac{9000\cdot 14}{15}=8400$

Второй способ:

$A_R=I^2Rt=1\cdot28\cdot300=8400$

$A_r=I^2rt=1\cdot2\cdot300=600$

Ответ: $I=1$ А, $A=9$ кДж, $A_r=600$ Дж, $A_R=8,4$ кДж.

Задача 5. К источнику тока с ЭДС $E = 3$ В и внутренним сопротивлением $r= 1$ Ом подключено сопротивление $R= 2$ Ом. Найти полезную мощность источника тока, мощность источника тока и потери мощности в цепи.

Ток в цепи равен:

$I=\frac{E}{r+R}=\frac{3}{3}=1$

Полезная мощность:

$P=I^2R=2$

Мощность источниика:

$P_E=EI=3$

Потери мощности:

$\Delta P=P_E-P=3-2=1$

Ответ: $P=2$ Вт – полезная мощность, $P_E=3$ Вт – мощность источника, $\Delta P=1$ Вт – потери.

Задача 6. ЭДС источника $E= 2$ В, его внутреннее сопротивление $r= 1$ Ом. Каков ток в цепи, если внешняя часть ее потребляет мощность $P = 0,75$ Вт? Почему получилось два ответа?