Постоянный ток: источники тока

[latexpage]

Задачи будут связаны с наличием у источника внутреннего сопротивления, и неизбежным падением на нем напряжения. Поэтому напряжение на зажимах всегда меньше ЭДС источника.

Задача 1. Вольтметр, подключенный к зажимам источника тока, показал напряжение $U_1 = 6$ В. Когда к тем же зажимам подключили еще и резистор, вольтметр стал показывать напряжение $U_2 = 3$ В. Что покажет вольтметр, если вместо одного подключить два таких резистора, соединенных последовательно? Параллельно?

К задаче 1

Сначала вольтметр показывал только саму ЭДС источника, откуда следует вывод, что $E=6$ В ($I=0$, у вольтметра очень большое сопротивление). Так как далее показания изменились вдвое, то делаем вывод, что $R=r$. Тогда напряжение и ток в цепи равны

$$U_1=I_1R=I_1r=3$$

$$I_1=\frac{E}{2r}=\frac{U_1}{r}$$

Если включить два резистора последовательно, то ток в цепи будет

$$I_2=\frac{E}{3r}=\frac{2U_1}{3r}$$

А напряжение

$$U_3=2r\cdotI_2=2r\cdot\frac{2U_1}{3r}=\frac{4U_1}{3}=4$$

Если включить два резистора параллельно, то ток в цепи будет

$$I_3=\frac{E}{1,5r}=\frac{4U_1}{3r}$$

А напряжение

$$U_4=\frac{r}{2}\cdotI_3=\frac{r}{2}\cdot \frac{4U_1}{3r}=\frac{4U_1}{6}=2$$

Ответ: при последовательном включении покажет 4 В, а при параллельном  – 2 В.

К задаче 2

Задача 2. В схеме, изображенной на рисунке , $E = 20$ В, $R_1 = 1$ Ом, $R_2 = 4$ Ом и сила тока на сопротивлении $R_1$  $I_1 = 4$ А. Найти внутреннее сопротивление батареи $r$.

Определим падение напряжения между точками $a$ и $b$. Нам известны сопротивление и ток, так что воспользуемся законом Ома:

$$U_{ab}=I_1R_1=4$$

Тогда точно такое же напряжение и на резисторе $R_2$,  4В. Определим ток через него:

$$I_2=\frac{ U_{ab}}{R_2}=\frac{4}{4}=1$$

Тогда в неразветвленной части цепи ток равен

$$I=I_1+I_2=5$$

Падение напряжения на внутреннем сопротивлении равно

$$U_r=E- U_{ab}=20-4=16$$

При силе тока в 5 А внутреннее сопротивление равно:

$$r=\frac{ U_r }{I}=\frac{16}{5}=3,2$$

Ответ: 3,2 Ом.

Задача 3. В схеме, изображенной на рисунке, $E = 4$ В, $r= 1$ Ом, $R_1 = R_2 = 2$ Ом. Найти разность потенциалов между точками А и В, т. е. $\varphi_A -\varphi_B$.

К задаче 3

Задача, обратная предыдущей. Решим ее в общем виде. Пересчитаем сопротивления $R_1$ и $R_2$, включенные параллельно, в одно:

$$R_{AB}=\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}$$

Тогда ток в цепи равен:

$$I=\frac{E}{r+R_{AB}}=\frac{E}{r+\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}}=\frac{E}{\frac{r(R_1+R_2)+R_1R_2}{ r(R_1+R_2)}}= \frac{Er(R_1+R_2)}{r(R_1+R_2)+R_1R_2}$$

А напряжение на зажимах $AB$ равно:

$$ U_{AB}=I R_{AB}=\frac{Er(R_1+R_2)}{r(R_1+R_2)+R_1R_2}\cdot \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}=\frac{ErR_1R_2}{r(R_1+R_2)+R_1R_2}$$

Подставим числа:

$$ U_{AB}= \frac{4\cdot 1\cdot 2\cdot 2}{1(2+2)+2\cdot2}=2$$

Ответ: $ U_{AB}=2$ В.

Задача 4. При подключении лампочки к батарее элементов с ЭДС $E= 30$ В и внутренним сопротивлением $r = 2$ Ом напряжение на зажимах источника $U = 28$ В. Найти силу тока в цепи. Какую работу совершают сторонние силы источника за время $t = 5$ мин? Какова работа тока во внешней и внутренней частях цепи за то же время?

Так как на  лампочке падает 28 В, а на сопротивлении источника 2, то очевидно,  что $\frac{R}{r}=\frac{28}{2}=14$, поэтому сопротивление лампы 28 Ом, а ток, следовательно,

$$I=\frac{E}{r+R}=\frac{30}{28+2}=1$$

Определим работу тока двумя способами. Первый способ:

Найдем полную работу тока:

$$A=UIt=30\cdot 1\cdot 300=9000$$

Так как $\frac{R}{r}=14$, то $\frac{A_R}{A_r}=14$, то есть 14 частей работы совершается во внешней цепи ($A_R$), а одна – во внутренней ($A_r$). Следовательно,

$$A_r=\frac{A}{15}=\frac{9000}{15}=600$$

$$A_R=\frac{A}{15}\cdot14=\frac{9000\cdot 14}{15}=8400$$

Второй способ:

$$A_R=I^2Rt=1\cdot28\cdot300=8400$$

$$A_r=I^2rt=1\cdot2\cdot300=600$$

Ответ: $I=1$ А, $A=9$ кДж, $A_r=600$ Дж, $A_R=8,4$ кДж.

Задача 5. К источнику тока с ЭДС $E = 3$ В и внутренним сопротивлением $r= 1$ Ом подключено сопротивление $R= 2$ Ом. Найти полезную мощность источника тока, мощность источника тока и потери мощности в цепи.

Ток в цепи равен:

$$I=\frac{E}{r+R}=\frac{3}{3}=1$$

Полезная мощность:

$$P=I^2R=2$$

Мощность источниика:

$$P_E=EI=3$$

Потери мощности:

$$\Delta P=P_E-P=3-2=1$$

Ответ: $P=2$ Вт – полезная мощность, $P_E=3$ Вт – мощность источника, $\Delta P=1$ Вт – потери.

Задача 6. ЭДС источника $E= 2$ В, его внутреннее сопротивление $r= 1$ Ом. Каков ток в цепи, если внешняя часть ее потребляет мощность $P = 0,75$ Вт? Почему получилось два ответа?

Ток в цепи равен:

$$I=\frac{E}{r+R}$$

Потребление внешней частью:

$$P=I^2R$$

Или, иначе,

$$I^2=\frac{P}{R}=\frac{E^2}{(r+R)^2}$$

Решим это уравнение:

$$E^2R=P(r^2+2Rr+R^2)$$

$$PR^2+(2Pr-E^2)R+Pr^2=0$$

$$D=(2Pr-E^2)^2-4P^2r^2=2,5^2-2,25=4$$

$$R_{1,2}=\frac{E^2-2Pr \pm\sqrt{D}}{2P}=\frac{2,5\pm2}{1,5}$$

$$R_1=3$$

$$R_2=\frac{1}{3}$$

Тогда можно определить ток, он равен либо

$$I_1=\frac{E}{r+R_1}=\frac{2}{4}=0,5$$

Либо

$$I_2=\frac{E}{r+R_2}=\frac{6}{4}=1,5$$

Ответ: $I_1=0,5$ A, $I_2=1,5$ A. Так как мощность цепи зависит от сопротивления нелинейно, то получилось два ответа:

К задаче 6 Зависимость мощности от сопротивления