Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Закон Ома, Работа и мощность тока, Сопротивление

Постоянный ток: источники тока

Задачи будут связаны с наличием у источника внутреннего сопротивления, и неизбежным падением на нем напряжения. Поэтому напряжение на зажимах всегда меньше ЭДС источника.

Задача 1. Вольтметр, подключенный к зажимам источника тока, показал напряжение U_1 = 6 В. Когда к тем же зажимам подключили еще и резистор, вольтметр стал показывать напряжение U_2 = 3 В. Что покажет вольтметр, если вместо одного подключить два таких резистора, соединенных последовательно? Параллельно?

К задаче 1

Сначала вольтметр показывал только саму ЭДС источника, откуда следует вывод, что E=6 В (I=0, у вольтметра очень большое сопротивление). Так как далее показания изменились вдвое, то делаем вывод, что R=r. Тогда напряжение и ток в цепи равны

    \[U_1=I_1R=I_1r=3\]

    \[I_1=\frac{E}{2r}=\frac{U_1}{r}\]

Если включить два резистора последовательно, то ток в цепи будет

    \[I_2=\frac{E}{3r}=\frac{2U_1}{3r}\]

А напряжение

    \[U_3=2r\cdotI_2=2r\cdot\frac{2U_1}{3r}=\frac{4U_1}{3}=4\]

Если включить два резистора параллельно, то ток в цепи будет

    \[I_3=\frac{E}{1,5r}=\frac{4U_1}{3r}\]

А напряжение

    \[U_4=\frac{r}{2}\cdotI_3=\frac{r}{2}\cdot \frac{4U_1}{3r}=\frac{4U_1}{6}=2\]

Ответ: при последовательном включении покажет 4 В, а при параллельном  – 2 В.

 

К задаче 2

Задача 2. В схеме, изображенной на рисунке , E = 20 В, R_1 = 1 Ом, R_2 = 4 Ом и сила тока на сопротивлении R_1  I_1 = 4 А. Найти внутреннее сопротивление батареи r.

Определим падение напряжения между точками a и b. Нам известны сопротивление и ток, так что воспользуемся законом Ома:

    \[U_{ab}=I_1R_1=4\]

Тогда точно такое же напряжение и на резисторе R_2,  4В. Определим ток через него:

    \[I_2=\frac{ U_{ab}}{R_2}=\frac{4}{4}=1\]

Тогда в неразветвленной части цепи ток равен

    \[I=I_1+I_2=5\]

Падение напряжения на внутреннем сопротивлении равно

    \[U_r=E- U_{ab}=20-4=16\]

При силе тока в 5 А внутреннее сопротивление равно:

    \[r=\frac{ U_r }{I}=\frac{16}{5}=3,2\]

Ответ: 3,2 Ом.

Задача 3. В схеме, изображенной на рисунке, E = 4 В, r= 1 Ом, R_1 = R_2 = 2 Ом. Найти разность потенциалов между точками А и В, т. е. \varphi_A -\varphi_B.

К задаче 3

Задача, обратная предыдущей. Решим ее в общем виде. Пересчитаем сопротивления R_1 и R_2, включенные параллельно, в одно:

    \[R_{AB}=\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}\]

Тогда ток в цепи равен:

    \[I=\frac{E}{r+R_{AB}}=\frac{E}{r+\frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}}=\frac{E}{\frac{r(R_1+R_2)+R_1R_2}{ r(R_1+R_2)}}= \frac{Er(R_1+R_2)}{r(R_1+R_2)+R_1R_2}\]

А напряжение на зажимах AB равно:

    \[U_{AB}=I R_{AB}=\frac{Er(R_1+R_2)}{r(R_1+R_2)+R_1R_2}\cdot \frac{R_1R_2}{ R_1+R_2}=\frac{ErR_1R_2}{r(R_1+R_2)+R_1R_2}\]

Подставим числа:

    \[U_{AB}= \frac{4\cdot 1\cdot 2\cdot 2}{1(2+2)+2\cdot2}=2\]

Ответ: U_{AB}=2 В.

Задача 4. При подключении лампочки к батарее элементов с ЭДС E= 30 В и внутренним сопротивлением r = 2 Ом напряжение на зажимах источника U = 28 В. Найти силу тока в цепи. Какую работу совершают сторонние силы источника за время t = 5 мин? Какова работа тока во внешней и внутренней частях цепи за то же время?

Так как на  лампочке падает 28 В, а на сопротивлении источника 2, то очевидно,  что \frac{R}{r}=\frac{28}{2}=14, поэтому сопротивление лампы 28 Ом, а ток, следовательно,

    \[I=\frac{E}{r+R}=\frac{30}{28+2}=1\]

Определим работу тока двумя способами. Первый способ:

Найдем полную работу тока:

    \[A=UIt=30\cdot 1\cdot 300=9000\]

Так как \frac{R}{r}=14, то \frac{A_R}{A_r}=14, то есть 14 частей работы совершается во внешней цепи (A_R), а одна – во внутренней (A_r). Следовательно,

    \[A_r=\frac{A}{15}=\frac{9000}{15}=600\]

    \[A_R=\frac{A}{15}\cdot14=\frac{9000\cdot 14}{15}=8400\]

Второй способ:

    \[A_R=I^2Rt=1\cdot28\cdot300=8400\]

    \[A_r=I^2rt=1\cdot2\cdot300=600\]

Ответ: I=1 А, A=9 кДж, A_r=600 Дж, A_R=8,4 кДж.

Задача 5. К источнику тока с ЭДС E = 3 В и внутренним сопротивлением r= 1 Ом подключено сопротивление R= 2 Ом. Найти полезную мощность источника тока, мощность источника тока и потери мощности в цепи.

Ток в цепи равен:

    \[I=\frac{E}{r+R}=\frac{3}{3}=1\]

Полезная мощность:

    \[P=I^2R=2\]

Мощность источниика:

    \[P_E=EI=3\]

Потери мощности:

    \[\Delta P=P_E-P=3-2=1\]

Ответ: P=2 Вт – полезная мощность, P_E=3 Вт – мощность источника, \Delta P=1 Вт – потери.

Задача 6. ЭДС источника E= 2 В, его внутреннее сопротивление r= 1 Ом. Каков ток в цепи, если внешняя часть ее потребляет мощность P = 0,75 Вт? Почему получилось два ответа?

Ток в цепи равен:

    \[I=\frac{E}{r+R}\]

Потребление внешней частью:

    \[P=I^2R\]

Или, иначе,

    \[I^2=\frac{P}{R}=\frac{E^2}{(r+R)^2}\]

Решим это уравнение:

    \[E^2R=P(r^2+2Rr+R^2)\]

    \[PR^2+(2Pr-E^2)R+Pr^2=0\]

    \[D=(2Pr-E^2)^2-4P^2r^2=2,5^2-2,25=4\]

    \[R_{1,2}=\frac{E^2-2Pr \pm\sqrt{D}}{2P}=\frac{2,5\pm2}{1,5}\]

    \[R_1=3\]

    \[R_2=\frac{1}{3}\]

Тогда можно определить ток, он равен либо

    \[I_1=\frac{E}{r+R_1}=\frac{2}{4}=0,5\]

Либо

    \[I_2=\frac{E}{r+R_2}=\frac{6}{4}=1,5\]

Ответ: I_1=0,5 A, I_2=1,5 A. Так как мощность цепи зависит от сопротивления нелинейно, то получилось два ответа:

К задаче 6 Зависимость мощности от сопротивления

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *