[latexpage]
Решим еще несколько неравенств методом рационализации. Табличку замен можно посмотреть здесь.
1.Решите неравенство:
$$\frac{\mid 2x-6 \mid-\mid 3x+5 \mid}{(32^x-2)(4+x)}<0$$
Показать
ОДЗ: $x \neq -4$, $x \neq \frac{1}{5}$.
Рационализация:
$$\frac{(2x-6-(3x+5))(2x-6+(3x+5))}{(5x-1)(4+x)}<0$$
$$\frac{(-x-11)(5x-1)}{(5x-1)(4+x)}<0$$
$$\frac{(x+11)(5x-1)}{(5x-1)(4+x)}>0$$
Корень $x=\frac{1}{5}$ – корень четной кратности, поэтому в этой точке не поменяется знак интервала.
С учетом ОДЗ решение: $x \in (-\infty; -11)\cup(-4;0,2)\cup (0,2; \infty)$.
2.Решите неравенство:
$$\log_{x+4} (x+7)- \log_{x^2+2x+1} (x+7) \leqslant 0$$
Показать
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{x+7>0}\\{x+4> 0}\\{x+4 \neq 1}\\{x^2+2x \neq 0}\\{ x^2+2x +1>0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{x>-7}\\{x> -4}\\{x \neq -3}\\{x \neq 0}\\{ x \neq-2}\\{x \neq -1}\end{matrix}$$
В итоге ОДЗ $x \in (-4; -3)\cup(-3;-2)\cup (-2; -1) \cup (-1;0)\cup (0;\infty)$.
Решим само неравенство:
$$\frac{1}{\log_{x+7} (x+4)}- \frac{1}{\log_{ x+7 } (x^2+2x+1)} \leqslant 0$$
$$\frac{\log_{ x+7 } (x+1)^2-\log_{x+7} (x+4)}{\log_{x+7} (x+4)\cdot\log_{ x+7 } (x+1)^2} \leqslant 0$$
Рационализация:
$$\frac{(x+7-1)( (x+1)^2- (x+4))(x+7-1)^2}{ (x+4-1)( (x+1)^2-1)} \leqslant 0$$
$$\frac{(x+6)^3(x^2+2x+1- x-4)}{ x(x+3)( x+2)} \leqslant 0$$
$$\frac{(x+6)^3(x^2+x-3)}{ x(x+3)( x+2)} \leqslant 0$$
$$\frac{(x+6)^3(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})}{ x(x+3)( x+2)} \leqslant 0$$
Расставив знаки интервалов и учитывая ОДЗ, имеем:
$x \in (-4; -3)\cup[\frac{-1-\sqrt{13}}{2};-2)\cup (0; \frac{-1+\sqrt{13}}{2}]$.
3.Решите неравенство:
$$\frac{(x^2+2x-3)^{x^2+6x+5}-1}{\ln (x^2+2x-3)}> 0$$
Показать
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{ x^2+2x -3\neq 1}\\{ x^2+2x -3>0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{ (x+3)(x-1) >0}\\{ x^2+2x -4\neq 0}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{ (x+3)(x-1) >0}\\{ x\neq -1-\sqrt{5}}\\{x \neq -1+\sqrt{5}}\end{matrix}$$
$x \in (-\infty; -1-\sqrt{5})\cup(-1-\sqrt{5};-3)\cup (1; -1+\sqrt{5})\cup(-1+\sqrt{5}; \infty)$.
Рационализация:
$$\frac{( x^2+2x -3-1)(x^2+6x+5)}{ x^2+2x -4}>0$$
$$\frac{( x-1-\sqrt{5})(x+1+\sqrt{5})(x+5)(x+1)}{ ( x-1-\sqrt{5})(x+1+\sqrt{5})}>0$$
Корни $-1-\sqrt{5}$ и $-1+\sqrt{5}$ – корни четной кратности, в них знаки интервалов меняться не будут.
С учетом ОДЗ решение неравенства
$x \in (-\infty; -5)\cup(1;-1+\sqrt{5})\cup (-1+\sqrt{5};\infty)$.
4.Решите неравенство:
$$(4x-2)\log_{\frac{3x+1}{4x-2}} (5x^2+9x-2)\leqslant 0$$
Показать
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{ 5x^2+9x -2>0}\\{\frac{3x+1}{2(2x-1)}\neq 1}\\{ \frac{3x+1}{2(2x-1)}>0}\\{x \neq 0,5}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{ (x+2)(x-0,2)>0}\\{\frac{3x+1-4x+2}{2(2x-1)}\neq 0}\\{ \frac{3x+1}{2(2x-1)}>0}\\{x \neq 0,5}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{ (x+2)(x-0,2)>0}\\{\frac{3-x}{2(2x-1)}\neq 0}\\{ \frac{3x+1}{2(2x-1)}>0}\\{x \neq 0,5}\end{matrix}$$
Получилась следующая ОДЗ:
$x \in (-\infty; -2)\cup (0,5; 3)\cup(3;\infty)$.
Рационализация:
$$(4x-2)\left(\frac{3x+1}{4x-2}-1 \right)(5x^2+9x-2-1)\leqslant 0$$
$$(4x-2)\left(\frac{3x+1-(4x-2)}{4x-2} \right)(5x^2+9x-3)\leqslant 0$$
$$(2x-1)\left(\frac{3-x}{2x-1} \right)(5x^2+9x-3)\leqslant 0$$
Корень $x=0,5$ – корень четной кратности, в этой точке знаки интервалов не поменяются.
Решение с учетом ОДЗ:
$x \in (\frac{-9-\sqrt{141}}{10}; -2)\cup(3;\infty)$.
5.Решите систему неравенств:
$$\begin{Bmatrix}{\frac{7^x-\frac{1}{49}}{3^x-3}\leqslant 0}\\{ \log_{3+x} (x+4)>0
}\end{matrix}$$
Показать
ОДЗ:
$$\begin{Bmatrix}{ 3+x>0}\\{3+x\neq 1}\\{ x+4>0}\\{x \neq 1}\end{matrix}$$
$x \in (-3; -2)\cup(-2;\infty)$.
Решаем, рационализация:
$$\begin{Bmatrix}{\frac{(7-1)(x+2)}{(3-1)(x-1)}\leqslant 0}\\{ (3+x-1)(x+4-1)>0
}\end{matrix}$$
$$\begin{Bmatrix}{\frac{x+2}{x-1}\leqslant 0}\\{ (x+2)(x+3)>0
}\end{matrix}$$
Решения первого неравенства $x \in [-2; 1)$, решения второго $x \in (-\infty; -3)\cup(-2;\infty)$.
С учетом ОДЗ решение системы $x \in (-2; 1)$.
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...