Закон преломления Снеллиуса – 3

[latexpage]

В этой статье будут представлены задачи на показатель преломления – средние по сложности. Здесь вы найдете простые задачи, здесь – задачи средние по сложности, но более простые, чем в этой статье. Будем применять закон преломления Снеллиуса, а также геометрические знания.

Задача 1.  Палка длиной $2l$ с изломом посредине погружена в пруд так, что наблюдателю, находящемуся на берегу и смотрящему приблизительно вдоль палки, она кажется прямой, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Какой угол излома имеет палка? Показатель преломления воды $\frac{4}{3}$.

Палка погружена, очевидно, так, что излом совпадает с уровнем воды, поэтому погруженная часть кажется наблюдателю прямой.

По закону Снеллиуса

$$\frac{\sin{90^{\circ}-\alpha}}{\sin{\beta}}=n$$

$$\sin{\beta}=\frac{\sin{90^{\circ}-\alpha}}{n}=\frac{\cos{\alpha}}{n}=\frac{3\cos{\alpha}}{4}$$

$$\beta=\arcsin{\frac{3\cos{\alpha}}{4}}$$

Угол $\gamma$ излома палки равен

$$\gamma=(90^{\circ}-\alpha)- \arcsin{\frac{3\cos{\alpha}}{4}}$$

Ответ: $\gamma=(90^{\circ}-\alpha)- \arcsin{\frac{3\cos{\alpha}}{4}}$

Задача 2.  В дно пруда вертикально вбит шест высотой 1‚25 м. Определите длину тени на дне пруда, если солнечные лучи падают на поверхность воды под углом $38^{\circ}$, а шест целиком находится под водой.

По закону Снеллиуса

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n$$

$$\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n}$$

Из рисунка

$$\frac{L}{H}=\operatorname{tg}{\beta}$$

Длина тени равна

$$L=H\operatorname{tg}{\beta}= H\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{\alpha}}{n}}}=0,652$$

Ответ: длина тени 65 см.

Задача 3.  В дно водоема глубиной 1,5 м вбита свая, которая выступает над поверхностью воды на 30 см. Найдите длину тени от сваи на дне водоема, если угол падения солнечных лучей равен $45^{\circ}$.

К задаче 3

Длина тени будет складываться из тени, даваемой  надводной частью, и тени, даваемой подводной частью. Тень надводной части будет равна по длине 30 см – длине надводной части (так как угол падения лучей $45^{\circ}$). Длина тени подводной части может быть определена, как в предыдущей задаче:

По закону Снеллиуса

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n$$

$$\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n}$$

Из рисунка

$$\frac{L}{H}=\operatorname{tg}{\beta}$$

Длина тени равна

$$L=H\operatorname{tg}{\beta}= H\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{\alpha}}{n}}}=0,942$$

Общая длина тени равна $0,942+0,3=1,242$

Ответ: 1,24 м

Задача 4.  На горизонтальном дне водоема глубиной 1,2 м лежит плоское зеркало. На каком расстоянии от места вхождения лучей в воду этот луч снова выйдет на поверхность воды после отражения от зеркала? Угол падения луча равен $30^{\circ}$, показатель преломления воды $\frac{4}{3}$.

К задаче 4

По закону Снеллиуса

$$\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}}=n$$

$$\sin{\beta}=\frac{\sin{\alpha}}{n}$$

Из рисунка

$$\frac{\frac{l}{2}}{H}=\operatorname{tg}{\beta}$$

Длина смещения луча равна

$$\frac{l}{2}=H\operatorname{tg}{\beta}= H\operatorname{tg}{\arcsin{\frac{\sin{\alpha}}{n}}}=0,49$$

Общая длина смещения  равна $0,49\cdot2=0,98$

Ответ: 0,98 м

Задача 5.  На дне стеклянной ванночки лежит плоское зеркало, поверх которого налит слой воды толщиной 20 см. В воздухе на высоте 30 см от поверхности воды висит лампа. На каком расстоянии от поверхности зеркала смотрящий в воду наблюдатель будет видеть изображение лампы в зеркале?

К задаче 5

Тангенс угла 1 равен

$$\operatorname{tg}{\angle 1}=\frac{x}{y}$$

Тангенс угла 2 равен

$$\operatorname{tg}{\angle 2}=\frac{x}{l}$$

Откуда

$$y=\frac{l\operatorname{tg}{\angle 2}}{\operatorname{tg}{\angle 1}}$$

Если углы небольшие, то можно записать, что

$$y=\frac{l\sin{\angle 2}}{\sin{\angle 1}}$$

А по закону Снеллиуса

$$y=\frac{l\sin{\angle 2}}{\sin{\angle 1}}=\frac{l n_1}{n_2}=\frac{l n_1}{n_2}=\frac{0,2}{1,33}=0,15$$

Расстояние $k$ найдем как $k=0,3+y=0,45$ м, тогда нужное нам расстояние равно $k+y-l=0,45+0,15-0,2=0,4$ м

Ответ: 40 см.