Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Менделеева-Клапейрона: поршни, пробки и перегородки

В этой статье предложено решение задач из книги “Физика. ЕГЭ. 1000 задач”. Их очень хорошо использовать для подготовки к решению задач из блока С: во-первых, они достаточно несложные, во-вторых, в них часто нужно применять знания из динамики и статики, что позволяет закрепить их и вспомнить еще раз формулы.

Задача 1. В цилиндр объемом 0,5 м^3 насосом закачивается воздух со скоростью 0,002 кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рис.). К свободному концу стержня подвешен груз массой 2 кг. Клапан открывается через 580 с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия S=5\cdot 10^{-4} м^2, расстояние АВ равно 0,1 м. Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Определите длину стержня, если его считать невесомым.

Запишем уравнение моментов для рычага AC:

    \[L m_g g=l p_1 S\]

    \[L=\frac{l p_1 S}{m_g g}\]

Осталось определить давление и подставить его в эту формулу.

Сначала состояние газа описывается уравнением:

    \[p_0V_0=\nu_1 RT\]

Затем, прямо перед моментом открытия клапана, давление больше:

    \[p_1V_0=\nu_2 RT\]

    \[p_1=\frac{ \nu_2 RT }{ V_0}\]

Где \nu_2=\frac{m}{M}, а m=\upsilon t.

    \[L=\frac{l S RT\nu_2 }{m_g g V_0}=\frac{l S RT m }{M m_g  g V_0}=\frac{l S RT \upsilon t }{M m_g  g V_0}\]

Подставляем:

    \[L=\frac{0,1\cdot 5\cdot 10^{-4}\cdot8,31\cdot300\cot 0,002\cdot580}{0,029\cdot2\cdot10\cdot0,5}=49,8\cdot10^{-2}\]

Ответ: 0,5 м.

 

Задача 2. В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения S = 5 см^2 ‚ ограниченном сверху подвижным поршнем массой m = 1 кг, находится воздух при комнатной температуре. Первоначально поршень находился на высоте H = 13 см от дна сосуда. На какой высоте h от дна сосуда окажется поршень, если на него положить груз массой m_1 = 0,5 кг? Воздух считать идеальным газом, а его температуру – неизменной. Атмосферное давление принять равным 10^5 Па. Трение между стенками сосуда и поршнем не учитывать.

Так как температура постоянна, то работает закон Бойля-Мариотта:

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

Запишем давления до того, как положили дополнительный груз, и после:

    \[p_1=p_0+\frac{mg}{S}\]

    \[p_2=p_0+\frac{(m+m_1)g}{S}\]

Тогда, подставляя давления, получаем:

    \[\left(p_0+\frac{mg}{S}\right)SH=\left(p_0+\frac{(m+m_1)g}{S}\right)Sh\]

Откуда, упрощая, имеем:

    \[p_0 S H+ m g H=p_0S h+(m+m_1)g h\]

    \[h=\frac{ p_0 S H+ m g H }{ p_0S+(m+m_1)g }=\frac{ 10^5\cdot5\cdot10^{-4}\cdot0,13+ 1,3}{ 10^5\cdot5\cdot10^{-4}+15}=\frac{7,8}{65}=0,12\]

Ответ: h=12 см

Задача 3. Теплоизолированный сосуд разделен тонкой теплоизолирующей перегородкой на две части, отношение объемов которых \frac{V_2}{V_1}=2. Обе части сосуда заполнены одинаковым одноатомным идеальным газом. Давление в первой из них равно p_0, во второй  – 4p_0.  Каким станет давление в сосуде, если перегородку убрать?

Состояния газа в обеих частях можно записать уравнениями:

    \[p_0V_1=\nu_1 RT_1\]

    \[4p_0\cdot 2V_1=\nu_2 RT_2\]

Тогда, так как газы теплом с внешней средой не обмениваются, и работы не совершают, то их внутренняя энергия (сумма) сохраняется:

    \[\frac{ 3}{ 2 }\nu_1RT_1+\frac{ 3}{ 2 }\nu_2RT_2=\frac{ 3}{ 2 }(\nu_1+\nu_2)RT\]

Откуда

    \[T=\frac{\nu_1RT_1+\nu_2RT_2}{ (\nu_1+\nu_2)R }~~~~~~~~~~~(1)\]

Уравнение Менделеева-Клапейрона для общего количества газа в сосуде:

    \[p_x \cdot 3V_1=(\nu_1+\nu_2)RT\]

    \[\nu_1+\nu_2=\frac{p_x \cdot 3V_1}{RT}\]

И подставим в (1)

    \[T=\frac{(\nu_1RT_1+\nu_2RT_2)T}{ p_x \cdot 3V_1 }\]

    \[1=\frac{p_0V_1+4p_0\cdot 2V_1}{ p_x \cdot 3V_1 }\]

 

Откуда делаем вывод, что p_x=3p_0.

Ответ: p_x=3p_0.

 

Задача 4. Теплоизолированный горизонтальный сосуд разделен пористой перегородкой на две равные части. В начальный момент в левой части сосуда находится \nu = 2 моль гелия, а в правой – такое же количество моль аргона. Атомы гелия могут проникать через перегородку, а для атомов аргона перегородка непроницаема. Температура гелия равна температуре аргона: T= 300 К. Определите отношение внутренних энергий газов по разные стороны перегородки после установления термодинамического равновесия.

Будем решать задачу в предположении, что газы идеальны.

Аргон никуда из своей части сосуда не денется, и для него справедливо:

    \[p_{Ar}\cdot \frac{V}{2}=\nu RT\]

Давление аргона

    \[p_{Ar}=\frac{2\nu RT }{V}\]

А гелий займет весь объем сосуда, просочившись через перегородку. Тогда

    \[p_{He}V=\nu RT\]

Давление гелия

    \[p_{He}=\frac{\nu RT }{V}\]

Тогда в левой части сосуда давление

    \[p_{He}+ p_{Ar}=\frac{\nu RT }{\frac{V}{2}}+\frac{2\nu RT }{\frac{V}{2}}=\frac{6\nu RT }{V}\]

А в правой p_{Ar}=\frac{2\nu RT }{V}.

Внутренняя энергия определяется формулой:

    \[U=\frac{3}{2}\nu RT =\frac{3}{2}pV\]

Тогда отношение внутренних энергий газов по разные стороны перегородки равно

    \[\frac{U_{Ar}}{U_{Ar+He}}=\frac{\frac{3}{2}\cdot2\nu RT }{\frac{3}{2}\cdot6\nu RT }=\frac{1}{3}\]

Ответ: \frac{U_{Ar}}{U_{Ar+He}}=\frac{1}{3}.

Комментариев - 4

  • Евгений
    |

    Здравствуйте! Почему в задаче 3 перегородка теплоизолирующая? Казалось бы, наоборот, должна быть теплопроводящей, чтобы температуры газа в разных частей были изначально равны, что существенно используется в задаче.

    Ответить
    • Анна
      |

      Здравствуйте. Сейчас пересмотрю решение. Надо ввести разные температуры. Жаль, не помню, откуда задача…

      Ответить
  • Валерий
    |

    В задаче 4 не сказано, что считать газ идеальным, что существенно! Ибо, реально температура уменьшится из-за увеличения потенциальной энергии связи между атомами гелия при его расширении. Это увеличение потенциальной энергии пойдет за счет уменьшения кинетической энергии атомов. Только если считать, что газы идеальны, только тогда потенциальной энергии нет и кинетическая энергия не изменится, т.е. температура смеси не изменится. Вообще, в этой задаче описан необратимый и неравновесный процесс. Он не является изучаемым в школе изотермическим процессом (т.к. Q=0), он не является изучаемым в школе адиабатическим процессом (т.к. предполагается, что Т=соnst). По идее его вообще нельзя на ЕГЭ давать. Либо указать надо в условии, что считать газ идеальным, как в задаче 3. Но даже в демоверсии 2016 года, где этот пример есть, не сказано в “образце” решения ни слова про то, что газ считать идеальным. Написано, что т.к. сосуд теплоизолирован и начальные температуры газов одинаковы, то, мол, поэтому и установившаяся температура в системе будет той же. Что не верно для случая реальных газов.

    Ответить
    • Анна
      |

      Спасибо за такой дельный комментарий, уважаемый Валерий! Внесу поправку.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *