Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Менделеева-Клапейрона: поршни, пробки и перегородки

В этой статье предложено решение задач из книги “Физика. ЕГЭ. 1000 задач”. Их очень хорошо использовать для подготовки к решению задач из блока С: во-первых, они достаточно несложные, во-вторых, в них часто нужно применять знания из динамики и статики, что позволяет закрепить их и вспомнить еще раз формулы.

Задача 1. В цилиндр объемом 0,5 м^3 насосом закачивается воздух со скоростью 0,002 кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рис.). К свободному концу стержня подвешен груз массой 2 кг. Клапан открывается через 580 с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия S=5\cdot 10^{-4} м^2, расстояние АВ равно 0,1 м. Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Определите длину стержня, если его считать невесомым.

Запишем уравнение моментов для рычага AC:

    \[L m_g g=l p_1 S\]

    \[L=\frac{l p_1 S}{m_g g}\]

Осталось определить давление и подставить его в эту формулу.

Сначала состояние газа описывается уравнением:

    \[p_0V_0=\nu_1 RT\]

Затем, прямо перед моментом открытия клапана, давление больше:

    \[p_1V_0=\nu_2 RT\]

    \[p_1=\frac{ \nu_2 RT }{ V_0}\]

Где \nu_2=\frac{m}{M}, а m=\upsilon t.

    \[L=\frac{l S RT\nu_2 }{m_g g V_0}=\frac{l S RT m }{M m_g  g V_0}=\frac{l S RT \upsilon t }{M m_g  g V_0}\]

Подставляем:

    \[L=\frac{0,1\cdot 5\cdot 10^{-4}\cdot8,31\cdot300\cot 0,002\cdot580}{0,029\cdot2\cdot10\cdot0,5}=49,8\cdot10^{-2}\]

Ответ: 0,5 м.

 

Задача 2. В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения S = 5 см^2 ‚ ограниченном сверху подвижным поршнем массой m = 1 кг, находится воздух при комнатной температуре. Первоначально поршень находился на высоте H = 13 см от дна сосуда. На какой высоте h от дна сосуда окажется поршень, если на него положить груз массой m_1 = 0,5 кг? Воздух считать идеальным газом, а его температуру – неизменной. Атмосферное давление принять равным 10^5 Па. Трение между стенками сосуда и поршнем не учитывать.

Так как температура постоянна, то работает закон Бойля-Мариотта:

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

Запишем давления до того, как положили дополнительный груз, и после:

    \[p_1=p_0+\frac{mg}{S}\]

    \[p_2=p_0+\frac{(m+m_1)g}{S}\]

Тогда, подставляя давления, получаем:

    \[\left(p_0+\frac{mg}{S}\right)SH=\left(p_0+\frac{(m+m_1)g}{S}\right)Sh\]

Откуда, упрощая, имеем:

    \[p_0 S H+ m g H=p_0S h+(m+m_1)g h\]

    \[h=\frac{ p_0 S H+ m g H }{ p_0S+(m+m_1)g }=\frac{ 10^5\cdot5\cdot10^{-4}\cdot0,13+ 1,3}{ 10^5\cdot5\cdot10^{-4}+15}=\frac{7,8}{65}=0,12\]

Ответ: h=12 см

Задача 3. Теплоизолированный сосуд разделен тонкой теплоизолирующей перегородкой на две части, отношение объемов которых \frac{V_2}{V_1}=2. Обе части сосуда заполнены одинаковым одноатомным идеальным газом. Давление в первой из них равно p_0, во второй  – 4p_0.  Каким станет давление в сосуде, если перегородку убрать?

Состояния газа в обеих частях можно записать уравнениями:

    \[p_0V_1=\nu_1 RT\]

    \[4p_0V_2=\nu_2 RT\]

Тогда количества газов:

    \[\nu_1=\frac{ p_0V_1}{ RT }\]

    \[\nu_2=\frac{ 4p_0V_2}{ RT }=\frac{ 8p_0V_1}{ RT }\]

Общее количество газа в сосуде:

    \[\nu=\nu_1+\nu_2=\frac{ p_0V_1}{ RT }+\frac{ 8p_0V_1}{ RT }=\frac{ 9p_0V_1}{ RT }\]

Так как теперь наличие перегородки не влияет на процессы в газе (просто она куда-то сдвинется, сейчас неважно, куда), и по условию V_1=\frac{1}{3}V, то объем сосуда можно представить как V=3V_1, тогда

    \[\nu=\frac{ 3p_0V}{ RT }\]

Или

    \[3p_0V=\nu RT\]

Откуда делаем вывод, что p=3p_0.

Ответ: p=3p_0.

 

Задача 4. Теплоизолированный горизонтальный сосуд разделен пористой перегородкой на две равные части. В начальный момент в левой части сосуда находится \nu = 2 моль гелия, а в правой – такое же количество моль аргона. Атомы гелия могут проникать через перегородку, а для атомов аргона перегородка непроницаема. Температура гелия равна температуре аргона: T= 300 К. Определите отношение внутренних энергий газов по разные стороны перегородки после установления термодинамического равновесия.

Аргон никуда из своей части сосуда не денется, и для него справедливо:

    \[p_{Ar}\cdot \frac{V}{2}=\nu RT\]

Давление аргона

    \[p_{Ar}=\frac{2\nu RT }{V}\]

А гелий займет весь объем сосуда, просочившись через перегородку. Тогда

    \[p_{He}V=\nu RT\]

Давление гелия

    \[p_{He}=\frac{\nu RT }{V}\]

Тогда в левой части сосуда давление

    \[p_{He}+ p_{Ar}=\frac{\nu RT }{\frac{V}{2}}+\frac{2\nu RT }{\frac{V}{2}}=\frac{6\nu RT }{V}\]

А в правой p_{Ar}=\frac{2\nu RT }{V}.

Внутренняя энергия определяется формулой:

    \[U=\frac{3}{2}\nu RT =\frac{3}{2}pV\]

Тогда отношение внутренних энергий газов по разные стороны перегородки равно

    \[\frac{U_{Ar}}{U_{Ar+He}}=\frac{\frac{3}{2}\cdot2\nu RT }{\frac{3}{2}\cdot6\nu RT }=\frac{1}{3}\]

Ответ: \frac{U_{Ar}}{U_{Ar+He}}=\frac{1}{3}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *