Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 17

Экономическая задача с дифференцированной схемой выплат

Задачу прислала Светлана Макорта, спасибо ей большое. В ЕГЭ под номером 17 теперь можно встретить различного типа задачи, и даже такие, которые больше относятся к физическим. Чем больше задач освоено в период подготовки – тем больше шансов решить задачу на экзамене.

Задача. 15 мая бизнесмен запланировал взять кредит в банке в размере 12 млн рублей на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом прошлого месяца;
— со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 15–е число предыдущего месяца.
На сколько процентов больше по отношению к взятому кредиту придется заплатить бизнесмену?

Здесь речь пойдет о дифференцированной схеме выплат, когда платежи не равны. Каждый раз заемщик выплачивает часть долга (в нашем случае ), и, кроме этого, все проценты по данному кредиту. Поскольку сначала сумма кредита большая, то и проценты составляют большую сумму, но потом сумма кредита с каждым платежом уменьшается, а значит, и сумма процентов все время становится меньше, так что первый платеж самый большой, а последний – самый маленький.

Итак, сначала, перед первым платежом, мы (встанем на место бизнесмена)  должны банку млн рублей. Выплачиваем в первый платеж одну часть кредита  и проценты: , и ко второму платежу мы уже должны . Банк начисляет проценты. Во второй платеж снова выплачиваем одну часть кредита  и проценты, которые банк начислил на оставшуюся часть долга: . К третьему платежу мы должны уже , и именно на эту сумму банк начислит проценты, и так далее. Таким образом, через девятнадцать месяцев мы выплатим всю сумму кредита (по одной части каждый месяц), и проценты, которые будут составлять:

   

Вынесем за скобки и сумму процентов :

   

В скобках получили сумму арифметической прогрессии, определим ее:

   

   

Можно вычислять как сумму убывающей прогрессии, так и сумму возрастающей, это кому как удобнее. В первом случае , , , в случае возрастающей прогрессии , , . Так как платежи убывают, то давайте все-таки посчитаем сумму убывающей прогрессии:

   

Таким образом, сумма процентов равна:

   

Итак, проценты составят 2,4 млн рублей. Тогда всего бизнесмен выплатит банку млн рублей. Это составляет

   

Бизнесмен заплатит 120 процентов суммы, это на 20% больше того, что он взял в долг. Поэтому

Ответ: на 20%.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *