Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

Экономическая задача с дифференцированной схемой выплат

Задачу прислала Светлана Макорта, спасибо ей большое. В ЕГЭ под номером 17 теперь можно встретить различного типа задачи, и даже такие, которые больше относятся к физическим. Чем больше задач освоено в период подготовки – тем больше шансов решить задачу на экзамене.

Задача. 15 мая бизнесмен запланировал взять кредит в банке в размере 12 млн рублей на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом прошлого месяца;
— со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 15–е число предыдущего месяца.
На сколько процентов больше по отношению к взятому кредиту придется заплатить бизнесмену?

Здесь речь пойдет о дифференцированной схеме выплат, когда платежи не равны. Каждый раз заемщик выплачивает часть долга (в нашем случае \frac{1}{19}), и, кроме этого, все проценты по данному кредиту. Поскольку сначала сумма кредита большая, то и проценты составляют большую сумму, но потом сумма кредита с каждым платежом уменьшается, а значит, и сумма процентов все время становится меньше, так что первый платеж самый большой, а последний – самый маленький.

Итак, сначала, перед первым платежом, мы (встанем на место бизнесмена)  должны банку A=12 млн рублей. Выплачиваем в первый платеж одну часть кредита \frac{A}{19} и проценты: 0,02A, и ко второму платежу мы уже должны \frac{18A}{19}. Банк начисляет проценты. Во второй платеж снова выплачиваем одну часть кредита \frac{A}{19} и проценты, которые банк начислил на оставшуюся часть долга: 0,02\cdot \frac{18A}{19}. К третьему платежу мы должны уже \frac{17A}{19}, и именно на эту сумму банк начислит проценты, и так далее. Таким образом, через девятнадцать месяцев мы выплатим всю сумму кредита (по одной части каждый месяц), и проценты, которые будут составлять:

    \[W=0,02A+0,02\cdot \frac{18A}{19}+0,02\cdot \frac{17A}{19}+ \ldots  +0,02\cdot \frac{A}{19}\]

Вынесем за скобки A и сумму процентов r=0,02:

    \[W=0,02A(1+ \frac{18}{19}+ \frac{17}{19}+ \ldots  + \frac{1}{19})\]

В скобках получили сумму арифметической прогрессии, определим ее:

    \[W=0,02A\cdot S_{19}\]

    \[S_{19}=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n\]

Можно вычислять как сумму убывающей прогрессии, так и сумму возрастающей, это кому как удобнее. В первом случае a_1=1, d=-\frac{1}{19}, n=19, в случае возрастающей прогрессии a_1=\frac{1}{19}, d=\frac{1}{19}, n=19. Так как платежи убывают, то давайте все-таки посчитаем сумму убывающей прогрессии:

    \[S_{19}=\frac{2-18\cdot\frac{1}{19}}{2}\cdot 19=10\]

Таким образом, сумма процентов равна:

    \[W=0,02A\cdot S_{19}=0,02 \cdot 12 \cdot 10=2,4\]

Итак, проценты составят 2,4 млн рублей. Тогда всего бизнесмен выплатит банку P=12+2,4=14,4 млн рублей. Это составляет

    \[Q=\frac{P}{A}\cdot100-100=\frac{14,4}{12}\cdot 100=120\]

Бизнесмен заплатит 120 процентов суммы, это на 20% больше того, что он взял в долг. Поэтому

Ответ: на 20%.

Один комментарий

  • Людмила
    |

    Огромное спасибо!

    Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *