Неравенства с модулем и без

[latexpage]

Неравенства – одна из сложных задач ЕГЭ, требующая больших знаний и большой внимательности. Особенно, если в неравенстве присутствует модуль, который необходимо грамотно снять.

Задача 1. Решите неравенство:

$$\left((\varphi+4)^{-1}-(\varphi+1)^{-1}\right)^2<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid}{(\varphi ^2+5\varphi +4)^2}$$

Переписываем в более привычном виде:

$$\left(\frac{1}{\varphi+4}-\frac{1}{\varphi+1}\right)^2<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid}{(\varphi ^2+5\varphi +4)^2}$$

Приводим к общему знаменателю левую часть:

$$\left(\frac{\varphi+1-\varphi-4}{(\varphi+4)(\varphi+1)}\right)^2<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid}{(\varphi ^2+5\varphi +4)^2}$$

Упрощаем:

$$\frac{9}{(\varphi+4)^2(\varphi+1)^2}<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid}{(\varphi ^2+5\varphi +4)^2}$$

Знаменатель правой части раскладываем на множители:

$$\frac{9}{(\varphi+4)^2(\varphi+1)^2}<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid}{(\varphi+1) ^2(\varphi +4)^2}$$

Так как знаменатели одинаковые, то запишем неравенство так:

$$\begin{Bmatrix}{ 9<\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid }\\{\varphi \neq -4 }\\{\varphi \neq -1}\end{matrix}$$

Раскрываем модуль:

$$\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{\varphi ^2-7\varphi -9>0}\\{7\varphi -\varphi ^2-9>0}\end{matrix} }\\{\varphi \neq -4 }\\{\varphi \neq -1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{\varphi ^2-7\varphi -9>0}\\{\varphi ^2-7\varphi +9<0}\end{matrix} }\\{\varphi \neq -4 }\\{\varphi \neq -1}\end{matrix}$$

Определяем дискриминант в обоих случаях, находим корни. В первом неравенстве системы получим следующие корни:

$$\varphi_{1,2}=\frac{7 \pm \sqrt{85}}{2}$$

Во втором неравенстве получим корни:

$$\varphi_{3,4}=\frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$$

Получаем решения неравенств, в первом нужны интервалы со знаками «плюс», во втором выберем интервалы с  «минусами»:

Решения и ОДЗ

Так как имеем совокупность, то нас интересует объединение указанных промежутков, с учетом выколотых точек.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-4; \frac{7-\sqrt{85}}{2}) \cup (\frac{7- \sqrt{13}}{2};\frac{7+ \sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{7+\sqrt{85}}{2}; +\infty)$

Задача 2. Решите неравенство:

$$\frac{b^2+2b+1}{b^2+6b+9}+\frac{ b^2-2b+1}{b^2-16b+64}-\frac{(2b^2-5b-11)^2}{(b+3)^2(b-8)^2}\leqslant 0$$

Выделяем полные квадраты:

$$\frac{(b+1)^2}{(b+3)^2}+\frac{ (b-1)^2}{(b-8)^2}-\frac{(2b^2-5b-11)^2}{(b+3)^2(b-8)^2}\leqslant 0$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{(b+1)^2(b-8)^2}{(b+3)^2(b-8)^2}+\frac{ (b-1)^2(b+3)^2}{(b-8)^2(b+3)^2}-\frac{(2b^2-5b-11)^2}{(b+3)^2(b-8)^2}\leqslant 0$$

$$\frac{(b+1)^2(b-8)^2+(b-1)^2(b+3)^2-(2b^2-5b-11)^2}{(b+3)^2(b-8)^2}\leqslant 0$$

Второе и третье слагаемые можно представить как разность квадратов:

$$\frac{(b+1)^2(b-8)^2+\left((b-1)(b+3)-(2b^2-5b-11)\right)\cdot \left((b-1)(b+3)+(2b^2-5b-11)\right)}{(b+3)^2(b-8)^2}\leqslant 0$$

Упрощаем:

$$\frac{(b+1)^2(b-8)^2+\left((b^2+2b-3)-(2b^2-5b-11)\right)\cdot \left((b^2+2b-3)+(2b^2-5b-11)\right)}{(b+3)^2(b-8)^2}\leqslant 0$$

$$\frac{(b+1)^2(b-8)^2+\left(-b^2+7b+8\right)\cdot \left(3b^2-3b-14)\right)}{(b+3)^2(b-8)^2}\leqslant 0$$

Один из множителей второго слагаемого числителя раскладывается:

$$\frac{(b+1)^2(b-8)^2+\left(-(b+1)(b-8)\right)\cdot \left(3b^2-3b-14)\right)}{(b+3)^2(b-8)^2}\leqslant 0$$

Выносим общий множитель за скобки:

$$\frac{(b+1)(b-8)\left((b+1)(b-8)-3b^2+3b+14\right)\cdot \left()\right)}{(b+3)^2(b-8)^2}\leqslant 0$$

$$\frac{(b+1)(b-8)\left(b^2-7b-8-3b^2+3b+14\right)}{(b+3)^2(b-8)^2}\leqslant 0$$

$$\frac{(b+1)(b-8)\left(-2b^2-4b+6\right)}{(b+3)^2(b-8)^2}\leqslant 0$$

Делим на $-2$, и меняем знак неравенства:

$$\frac{(b+1)(b-8)\left(b^2+2b-3\right)\cdot \left()\right)}{(b+3)^2(b-8)^2}\geqslant 0$$

Раскладываем многочлен в числителе на множители:

$$\frac{(b+1)(b-8)(b-1)(b+3)}{(b+3)^2(b-8)^2}\geqslant 0$$

Сокращаем:

$$\frac{(b+1)(b-1)}{(b+3)(b-8)}\geqslant 0$$

Точки  $-3$ и $8$ – выколотые, так как обращают в ноль знаменатель, точки $1$ и $-1$ – закрашенные, согласно знаку неравенства. Расставив точки на числовой прямой и пометив знаки интервалов (самый правый – с плюсом), получаем ответ:

$b \in (-\infty; -3) \cup [-1; 1] \cup (8; +\infty)$