Неравенства с модулем и без

Неравенства – одна из сложных задач ЕГЭ, требующая больших знаний и большой внимательности. Особенно, если в неравенстве присутствует модуль, который необходимо грамотно снять.

Задача 1. Решите неравенство:

Переписываем в более привычном виде:

Приводим к общему знаменателю левую часть:

Упрощаем:

Знаменатель правой части раскладываем на множители:

Так как знаменатели одинаковые, то запишем неравенство так:

Раскрываем модуль:

Определяем дискриминант в обоих случаях, находим корни. В первом неравенстве системы получим следующие корни:

Во втором неравенстве получим корни:

Получаем решения неравенств, в первом нужны интервалы со знаками «плюс», во втором выберем интервалы с  «минусами»:

Решения и ОДЗ

Так как имеем совокупность, то нас интересует объединение указанных промежутков, с учетом выколотых точек.

Ответ:

Задача 2. Решите неравенство:

Выделяем полные квадраты:

Приводим к общему знаменателю:

Второе и третье слагаемые можно представить как разность квадратов:

Упрощаем:

Один из множителей второго слагаемого числителя раскладывается:

Выносим общий множитель за скобки:

Делим на , и меняем знак неравенства:

Раскладываем многочлен в числителе на множители:

Сокращаем:

Точки  и – выколотые, так как обращают в ноль знаменатель, точки и – закрашенные, согласно знаку неравенства. Расставив точки на числовой прямой и пометив знаки интервалов (самый правый – с плюсом), получаем ответ: