[latexpage]
В этой статье предложены 4 способа решения одной задачи. Выбирайте на вкус: анализ, геометрия, тригонометрия, или аналитическая геометрия – кому что нравится.
Задача. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 млн рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Пусть на первом заводе рабочие трудятся $x^2$ часов, а на втором – $y^2$ часов. Тогда на первом заводе они произведут $3x$ единиц продукции, а на втором – $4y$. Наша задача – максимизировать выражение $3x+4y$. Если Григорий платит 5 млн в неделю, и в то же время 500 руб/час, то
$$x^2+y^2=10000$$
Первый способ решения задачи – через производную. Выразим $y$ из последнего выражения:
$$y=\sqrt{10000-x^2}$$
Тогда
$$f(x)=3x+4y=3x+4\sqrt{10000-x^2}$$
Чтобы найти максимум, возьмем производную и приравняем к нулю:
$$f’(x)=3+\frac{4\cdot(-2x)}{2\sqrt{10000-x^2}}=\frac{3\sqrt{10000-x^2}-4x}{\sqrt{10000-x^2}}$$
Приравниваем к нулю. Чтобы дробь была равна 0, нужно, чтобы числитель дроби был равен нулю.
$$3\sqrt{10000-x^2}-4x=0$$
$$9(10000-x^2)=16x^2$$
$$25x^2=90000$$
$$x^2=3600$$
$$x=60$$
Тогда $y=80$.
$$3x+4y=3\cdot60+4\cdot80=180+320=500$$
Второй способ.
$x^2+y^2=10000$ – уравнение окружности радиуса 100 (в нашем случае четверть окружности в первом квадранте, так как и $x$, и $y$ – положительны). $3x+4y$ – прямая. Чем больше значение этого выражения, тем больше расстояние от начала координат до этой прямой. Чтобы решить задачу, надо отыскать касательную к нашей окружности вида $3x+4y=const$ – изо всех прямых она располагается дальше всех – ведь точка касания одна. Известно, чтобы прямые $y_1=k_1x+b_1$ и $y_2=k_2x+b_2$ были бы перпендикулярны, должно выполняться $k_1k_2=-1$. Поэтому, если у нашей прямой коэффициент при $y$ равен $\frac{3}{4}$, то у касательной он должен быть $\frac{4}{3}$:
$$y=\frac{4}{3}x$$
Подставим в уравнение окружности
$$ x^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2x ^2=10000$$
$$ x^2+\frac{16}{9}x ^2=10000$$
$$\frac{25x^2}{9}=10000$$
$$x^2=3600$$
$$x=60$$
$$y=80$$
Третий способ.
$3x+4y=const$ – прямая, причем $C$ – это и есть наше решение. Найдем расстояние от этой прямой до точки с координатами $x_0; y_0$ (начала координат).
$$\rho=\frac{\mid Ax_0+By_0+C \mid}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\mid A\cdot 0+B\cdot 0+C \mid}{\sqrt{3^2+4^2}}$$
А это расстояние – и есть радиус окружности $x^2+y^2=10000$!
$$100=\frac{C}{\sqrt{3^2+4^2}}$$
Откуда $C=500$. А ведь $C$ – это и есть значение искомого выражения, то есть ответ задачи.
Четвертый способ решения – любителям тригонометрии.
$$ x^2+y^2=10000$$
Переходим в полярные координаты:
$$x=100\cos{\alpha}$$
$$y=100\sin{\alpha}$$
Тогда
$$3x+4y=300\cos{\alpha}+400\sin{\alpha}=500\left(\frac{3}{5}\cos{\alpha}+\frac{4}{5}\sin{\alpha}\right)=500(\sin{\phi}\cos{\alpha}+\cos{\phi}\sin{\alpha})=500\sin(\alpha+\phi)$$
А такое выражение принимает максимальное значение при $\sin(\alpha+\phi)=1$. И равно оно при этом 500.
Ответ: 500.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...