4 способа решения одной задачи на оптимальный выбор

В этой статье предложены 4 способа решения одной задачи. Выбирайте на вкус: анализ, геометрия, тригонометрия, или аналитическая геометрия – кому что нравится.

Задача. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно   часов в неделю, то за эту неделю они производят единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно     часов в неделю, то за эту неделю они производят единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 млн рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Пусть на первом заводе рабочие трудятся часов, а на втором – часов.  Тогда на первом заводе они произведут единиц продукции, а на втором –  . Наша задача – максимизировать выражение . Если Григорий платит 5 млн в неделю, и в то же время 500 руб/час, то

Первый способ решения задачи – через производную. Выразим из последнего выражения:

Тогда

Чтобы найти максимум, возьмем производную и приравняем к нулю:

Приравниваем к нулю. Чтобы дробь была равна 0, нужно, чтобы числитель дроби был равен нулю.

Тогда .

Второй способ.

– уравнение окружности радиуса 100 (в нашем случае четверть окружности в первом квадранте, так как и , и – положительны). – прямая. Чем больше значение этого выражения,  тем больше расстояние от начала координат до этой прямой. Чтобы решить задачу, надо отыскать касательную к нашей окружности вида – изо всех прямых она располагается дальше всех – ведь точка касания одна. Известно, чтобы прямые и  были бы  перпендикулярны, должно выполняться . Поэтому, если у нашей прямой коэффициент при  равен , то у касательной он должен быть :

Подставим в уравнение окружности

Третий способ.

– прямая, причем – это и есть наше решение. Найдем расстояние от этой прямой до точки с координатами (начала координат).

А это расстояние – и есть радиус окружности !

Откуда . А ведь – это и есть значение искомого выражения, то есть ответ задачи.

Четвертый способ решения – любителям тригонометрии.

Переходим в полярные координаты:

Тогда

А такое выражение принимает максимальное значение при . И равно оно при этом 500.

Ответ: 500.