В этой статье предложены 4 способа решения одной задачи. Выбирайте на вкус: анализ, геометрия, тригонометрия, или аналитическая геометрия – кому что нравится.
Задача. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят
единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно
часов в неделю, то за эту неделю они производят
единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 млн рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Пусть на первом заводе рабочие трудятся часов, а на втором –
часов. Тогда на первом заводе они произведут
единиц продукции, а на втором –
. Наша задача – максимизировать выражение
. Если Григорий платит 5 млн в неделю, и в то же время 500 руб/час, то
Первый способ решения задачи – через производную. Выразим из последнего выражения:
Тогда
Чтобы найти максимум, возьмем производную и приравняем к нулю:
Приравниваем к нулю. Чтобы дробь была равна 0, нужно, чтобы числитель дроби был равен нулю.
Тогда .
Второй способ.
– уравнение окружности радиуса 100 (в нашем случае четверть окружности в первом квадранте, так как и
, и
– положительны).
– прямая. Чем больше значение этого выражения, тем больше расстояние от начала координат до этой прямой. Чтобы решить задачу, надо отыскать касательную к нашей окружности вида
– изо всех прямых она располагается дальше всех – ведь точка касания одна. Известно, чтобы прямые
и
были бы перпендикулярны, должно выполняться
. Поэтому, если у нашей прямой коэффициент при
равен
, то у касательной он должен быть
:
Подставим в уравнение окружности
Третий способ.
– прямая, причем
– это и есть наше решение. Найдем расстояние от этой прямой до точки с координатами
(начала координат).
А это расстояние – и есть радиус окружности !
Откуда . А ведь
– это и есть значение искомого выражения, то есть ответ задачи.
Четвертый способ решения – любителям тригонометрии.
Переходим в полярные координаты:
Тогда
А такое выражение принимает максимальное значение при . И равно оно при этом 500.
Ответ: 500.
Тут я с Вами полностью...
Здравствуйте. Сейчас пересмотрю решение. Надо ввести разные температуры. Жаль, не...
Здравствуйте! Почему в задаче 3 перегородка теплоизолирующая? Казалось бы,...
Согласна, решать можно по-разному, и ваше решение строже, чем мое. И бог с ними, с...
Здравствуйте! Благодарю Вас за варианты, которые Вы создаете. Заметила небольшое...