4 способа решения одной задачи на оптимальный выбор

[latexpage]

В этой статье предложены 4 способа решения одной задачи. Выбирайте на вкус: анализ, геометрия, тригонометрия, или аналитическая геометрия – кому что нравится.

Задача. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$  часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$    часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 млн рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Пусть на первом заводе рабочие трудятся $x^2$ часов, а на втором – $y^2$ часов.  Тогда на первом заводе они произведут $3x$ единиц продукции, а на втором –  $4y$. Наша задача – максимизировать выражение $3x+4y$. Если Григорий платит 5 млн в неделю, и в то же время 500 руб/час, то

$$x^2+y^2=10000$$

Первый способ решения задачи – через производную. Выразим $y$ из последнего выражения:

$$y=\sqrt{10000-x^2}$$

Тогда

$$f(x)=3x+4y=3x+4\sqrt{10000-x^2}$$

Чтобы найти максимум, возьмем производную и приравняем к нулю:

$$f’(x)=3+\frac{4\cdot(-2x)}{2\sqrt{10000-x^2}}=\frac{3\sqrt{10000-x^2}-4x}{\sqrt{10000-x^2}}$$

Приравниваем к нулю. Чтобы дробь была равна 0, нужно, чтобы числитель дроби был равен нулю.

$$3\sqrt{10000-x^2}-4x=0$$

$$9(10000-x^2)=16x^2$$

$$25x^2=90000$$

$$x^2=3600$$

$$x=60$$

Тогда $y=80$.

$$3x+4y=3\cdot60+4\cdot80=180+320=500$$

Второй способ.

$x^2+y^2=10000$ – уравнение окружности радиуса 100 (в нашем случае четверть окружности в первом квадранте, так как и $x$, и $y$ – положительны). $3x+4y$ – прямая. Чем больше значение этого выражения,  тем больше расстояние от начала координат до этой прямой. Чтобы решить задачу, надо отыскать касательную к нашей окружности вида $3x+4y=const$ – изо всех прямых она располагается дальше всех – ведь точка касания одна. Известно, чтобы прямые $y_1=k_1x+b_1$ и $y_2=k_2x+b_2$  были бы  перпендикулярны, должно выполняться $k_1k_2=-1$. Поэтому, если у нашей прямой коэффициент при $y$ равен $\frac{3}{4}$, то у касательной он должен быть $\frac{4}{3}$:

$$y=\frac{4}{3}x$$

Подставим в уравнение окружности

$$ x^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2x ^2=10000$$

$$ x^2+\frac{16}{9}x ^2=10000$$

$$\frac{25x^2}{9}=10000$$

$$x^2=3600$$

$$x=60$$

$$y=80$$

Третий способ.

$3x+4y=const$ – прямая, причем $C$ – это и есть наше решение. Найдем расстояние от этой прямой до точки с координатами $x_0; y_0$ (начала координат).

$$\rho=\frac{\mid Ax_0+By_0+C \mid}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\mid A\cdot 0+B\cdot 0+C \mid}{\sqrt{3^2+4^2}}$$

А это расстояние – и есть радиус окружности $x^2+y^2=10000$!

$$100=\frac{C}{\sqrt{3^2+4^2}}$$

Откуда $C=500$. А ведь $C$ – это и есть значение искомого выражения, то есть ответ задачи.

Четвертый способ решения – любителям тригонометрии.

$$ x^2+y^2=10000$$

Переходим в полярные координаты:

$$x=100\cos{\alpha}$$

$$y=100\sin{\alpha}$$

Тогда

$$3x+4y=300\cos{\alpha}+400\sin{\alpha}=500\left(\frac{3}{5}\cos{\alpha}+\frac{4}{5}\sin{\alpha}\right)=500(\sin{\phi}\cos{\alpha}+\cos{\phi}\sin{\alpha})=500\sin(\alpha+\phi)$$

А такое выражение принимает максимальное значение при $\sin(\alpha+\phi)=1$. И равно оно при этом 500.

Ответ: 500.