4 способа решения одной задачи на оптимальный выбор

В этой статье предложены 4 способа решения одной задачи. Выбирайте на вкус: анализ, геометрия, тригонометрия, или аналитическая геометрия – кому что нравится.

Задача. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $3t$ единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $4t$ единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 млн рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Пусть на первом заводе рабочие трудятся $x^2$ часов, а на втором – $y^2$ часов. Тогда на первом заводе они произведут $3x$ единиц продукции, а на втором – $4y$ . Наша задача – максимизировать выражение $3x+4y$ . Если Григорий платит 5 млн в неделю, и в то же время 500 руб/час, то

$x^2+y^2=10000$

Первый способ решения задачи – через производную. Выразим $y$ из последнего выражения:

$y=\sqrt{10000-x^2}$

Тогда

$f(x)=3x+4y=3x+4\sqrt{10000-x^2}$

Чтобы найти максимум, возьмем производную и приравняем к нулю:

$f'(x)=3+\frac{4\cdot(-2x)}{2\sqrt{10000-x^2}}=\frac{3\sqrt{10000-x^2}-4x}{\sqrt{10000-x^2}}$

Приравниваем к нулю. Чтобы дробь была равна 0, нужно, чтобы числитель дроби был равен нулю.

$3\sqrt{10000-x^2}-4x=0$

$9(10000-x^2)=16x^2$

$25x^2=90000$

$x^2=3600$

$x=60$

Тогда $y=80$ .

$3x+4y=3\cdot60+4\cdot80=180+320=500$

Второй способ.

$x^2+y^2=10000$ – уравнение окружности радиуса 100 (в нашем случае четверть окружности в первом квадранте, так как и $x$ , и $y$ – положительны). $3x+4y$ – прямая. Чем больше значение этого выражения, тем больше расстояние от начала координат до этой прямой. Чтобы решить задачу, надо отыскать касательную к нашей окружности вида $3x+4y=const$ – изо всех прямых она располагается дальше всех – ведь точка касания одна. Известно, чтобы прямые $y_1=k_1x+b_1$ и $y_2=k_2x+b_2$ были бы перпендикулярны, должно выполняться $k_1k_2=-1$ . Поэтому, если у нашей прямой коэффициент при $y$ равен $\frac{3}{4}$ , то у касательной он должен быть $\frac{4}{3}$ :

$y=\frac{4}{3}x$

Подставим в уравнение окружности

$x^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2x ^2=10000$

$x^2+\frac{16}{9}x ^2=10000$

$\frac{25x^2}{9}=10000$

$x^2=3600$

$x=60$

$y=80$

Третий способ.

$3x+4y=const$ – прямая, причем $C$ – это и есть наше решение. Найдем расстояние от этой прямой до точки с координатами $x_0; y_0$ (начала координат).

$\rho=\frac{\mid Ax_0+By_0+C \mid}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\mid A\cdot 0+B\cdot 0+C \mid}{\sqrt{3^2+4^2}}$

А это расстояние – и есть радиус окружности $x^2+y^2=10000$ !

$100=\frac{C}{\sqrt{3^2+4^2}}$

Откуда $C=500$ . А ведь $C$ – это и есть значение искомого выражения, то есть ответ задачи.

Четвертый способ решения – любителям тригонометрии.

$x^2+y^2=10000$

Переходим в полярные координаты:

$x=100\cos{\alpha}$

$y=100\sin{\alpha}$

Тогда

$3x+4y=300\cos{\alpha}+400\sin{\alpha}=500\left(\frac{3}{5}\cos{\alpha}+\frac{4}{5}\sin{\alpha}\right)=500(\sin{\phi}\cos{\alpha}+\cos{\phi}\sin{\alpha})=500\sin(\alpha+\phi)$

А такое выражение принимает максимальное значение при $\sin(\alpha+\phi)=1$ . И равно оно при этом 500.

Ответ: 500.

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Авг
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

4 способа решения одной задачи на оптимальный выбор

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы