Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Экономическая задача (17)

4 способа решения одной задачи на оптимальный выбор

В этой статье предложены 4 способа решения одной задачи. Выбирайте на вкус: анализ, геометрия, тригонометрия, или аналитическая геометрия – кому что нравится.

Задача. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t^2  часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t^2    часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 млн рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

 

Пусть на первом заводе рабочие трудятся x^2 часов, а на втором – y^2 часов.  Тогда на первом заводе они произведут 3x единиц продукции, а на втором –  4y. Наша задача – максимизировать выражение 3x+4y. Если Григорий платит 5 млн в неделю, и в то же время 500 руб/час, то

    \[x^2+y^2=10000\]

Первый способ решения задачи – через производную. Выразим y из последнего выражения:

    \[y=\sqrt{10000-x^2}\]

Тогда

    \[f(x)=3x+4y=3x+4\sqrt{10000-x^2}\]

Чтобы найти максимум, возьмем производную и приравняем к нулю:

    \[f'(x)=3+\frac{4\cdot(-2x)}{2\sqrt{10000-x^2}}=\frac{3\sqrt{10000-x^2}-4x}{\sqrt{10000-x^2}}\]

Приравниваем к нулю. Чтобы дробь была равна 0, нужно, чтобы числитель дроби был равен нулю.

    \[3\sqrt{10000-x^2}-4x=0\]

    \[9(10000-x^2)=16x^2\]

    \[25x^2=90000\]

    \[x^2=3600\]

    \[x=60\]

Тогда y=80.

    \[3x+4y=3\cdot60+4\cdot80=180+320=500\]

Второй способ.

x^2+y^2=10000 – уравнение окружности радиуса 100 (в нашем случае четверть окружности в первом квадранте, так как и x, и y – положительны). 3x+4y – прямая. Чем больше значение этого выражения,  тем больше расстояние от начала координат до этой прямой. Чтобы решить задачу, надо отыскать касательную к нашей окружности вида 3x+4y=const – изо всех прямых она располагается дальше всех – ведь точка касания одна. Известно, чтобы прямые y_1=k_1x+b_1 и y_2=k_2x+b_2  были бы  перпендикулярны, должно выполняться k_1k_2=-1. Поэтому, если у нашей прямой коэффициент при y равен \frac{3}{4}, то у касательной он должен быть \frac{4}{3}:

    \[y=\frac{4}{3}x\]

Подставим в уравнение окружности

    \[x^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2x ^2=10000\]

    \[x^2+\frac{16}{9}x ^2=10000\]

    \[\frac{25x^2}{9}=10000\]

    \[x^2=3600\]

    \[x=60\]

    \[y=80\]

Третий способ.

3x+4y=const – прямая, причем C – это и есть наше решение. Найдем расстояние от этой прямой до точки с координатами x_0; y_0 (начала координат).

    \[\rho=\frac{\mid Ax_0+By_0+C \mid}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\mid A\cdot 0+B\cdot 0+C \mid}{\sqrt{3^2+4^2}}\]

А это расстояние – и есть радиус окружности x^2+y^2=10000!

    \[100=\frac{C}{\sqrt{3^2+4^2}}\]

Откуда C=500. А ведь C – это и есть значение искомого выражения, то есть ответ задачи.

Четвертый способ решения – любителям тригонометрии.

    \[x^2+y^2=10000\]

Переходим в полярные координаты:

    \[x=100\cos{\alpha}\]

    \[y=100\sin{\alpha}\]

Тогда

    \[3x+4y=300\cos{\alpha}+400\sin{\alpha}=500\left(\frac{3}{5}\cos{\alpha}+\frac{4}{5}\sin{\alpha}\right)=500(\sin{\phi}\cos{\alpha}+\cos{\phi}\sin{\alpha})=500\sin(\alpha+\phi)\]

А такое выражение принимает максимальное значение при \sin(\alpha+\phi)=1. И равно оно при этом 500.

Ответ: 500.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *