Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике

Месячные архивы: Апрель 2020

[latexpage] Два тригонометрических уравнения, использующих метод введения дополнительного угла. Задача 1. Решить уравнение: $$\sqrt{6}(\sin x+\cos x)+\sqrt{2}(\sin x-\cos x)=2$$ $$\sqrt{6}\sin x+\sqrt{6}\cos x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=2$$ $$(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin x+(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos x=2$$ Вводим дополнительный угол: $A\sin x+B\cos x=R\sin (x+\varphi)$, $R=\sqrt{A^2+B^2}$, $\sin \varphi=\frac{B}{R}, \cos \varphi=\frac{A}{R}$. Тогда у нас $R=4$, $\sin \varphi=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \cos \varphi=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Делаем вывод, что $\varphi=\frac{\pi}{12}$, так как $$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$$ Если $\sin….

| Автор:
| |

[latexpage] Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать графически. Задача 1. Найти все $a$, при которых уравнение $$\ln{5x-2}\sqrt{x^2-2x+2a-a^2}=0$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$. (ЕГЭ-2017, основная волна). ОДЗ: $$\begin{Bmatrix}{ 5x-2>0}\\{ x^2-2x+2a-2a^2\geqslant 0}\end{matrix}$$ Во втором неравенстве, если решать его как квадратное, корни будут $a$ и $2-a$ – это можно….

| Автор:
| |

Публикую ответы к 74 тренировочному варианту от 18 апреля.

| Автор:
| |

Публикую 75 тренировочный вариант. Готовьтесь, не ослабляя усилий: экзамены никто не отменял. Решайте больше, решайте лучше!

| Автор:
| |

[latexpage] Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать графически. Задача 1. Найти все $a$, при которых уравнение $$\sqrt{x-a}\sin x=\sqrt{x-a}\cos x$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; \pi]$. (ЕГЭ-2017, основная волна). $$\sqrt{x-a}(\sin x-\cos x)=0$$ $x=a$, если $a \in [0; \pi]$. Скобка обращается в ноль только при $x=\frac{\pi}{4}$. Если $\frac{\pi}{4}-a\geqslant 0$…..

| Автор:
| |

[latexpage] В этой статье мы уже выходим за рамки школьной программы: теорему Штейнера в школе не дают. Но задачи “решабельные”, и интересные. Задача 1. Тележка с массивными колёсами съезжает с наклонной плоскости длиной $S=10$ м, составляющей угол $\alpha=30^{\circ}$ с горизонтом за $t_0=2,5$ с. За какое время съедет эта же тележка с этой же наклонной плоскости,….

| Автор:
| |

Публикую ответы к тренировочному варианту 73 от 11 апреля.

| Автор:
| |

Представляю тренировочный вариант 74. Учитесь, оставаясь дома!

| Автор:
| |

[latexpage] Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать аналитически. Задача 1. Найти все $a$, при которых уравнение $$\frac{x-2a}{x+2}+\frac{x-1}{x-a}=1$$ имеет ровно один корень. (ЕГЭ-2016, основная волна). Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)-(x+2)(x-a)}{(x+2)(x-a)}=0$$ $$\frac{x^2-3ax+2a^2+x^2+x-2-x^2-2x+2a+ax}{(x+2)(x-a)}=0$$ $$\frac{x^2-(2a+1)x+2a^2+2a-2}{(x+2)(x-a)}=0$$ Если дискриминант числителя $D<0$, то решений нет. Если дискриминант числителя $D=0$, то $$D=(2a+1)^2-8a^2-8a+8$$ $$D=-4a^2-4a+9=0$$ $$a=\frac{-2\pm \sqrt{4+36}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2}$$ При….

| Автор:
| |

[latexpage] Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать аналитически. Задача 1. Найти все $a$, при которых уравнение $$\sqrt{x^4-9x^2+a^2}=x^2-3x-a$$ имеет ровно три корня. (ЕГЭ-2016, основная волна). Решение. Возведем в квадрат: $$x^4-9x^2+a^2=x^4+9x^2+a^2-6x^3-2ax^2+6ax$$ $$6x^3+(2a-18)x^2-6ax=0$$ $$6x\left(x^2+\left(\frac{a}{3}-3\right)x-a\right)=0$$ Чтобы корни были разными, $a\neq -9; a\neq 0$. Корни $x=\frac{a}{3}$; $x=0; x=3$. Проверяем: при $x=0$ $$\sqrt{a^2}=-a$$ То есть….

| Автор:
| |