Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике

Месячные архивы: Июль 2016

[latexpage] В этой статье представлены два неравенства, решением которых по требованию условия должен быть отрезок или интервал какой-либо длины. Одно из них решено аналитически, второе – графически. Задача 1. Найдите все значения параметра $\varepsilon$, при каждом из которых множеством решений неравенства $$\mid 4x+\varepsilon \mid-\mid x-\frac{1}{2}\mid+1 \leqslant 0$$ относительно $x$ является отрезок длины 2. Решим аналитически:….

| Автор:
| |

[latexpage] Задачи в этой серии статей подобрались одна к одной: не совсем привычные, требующие времени, часто имеющие два решения и требующие нестандартных подходов. Задача 1. В остроугольном треугольнике $KLV$ провели высоту $LA$. Из точки $A$ на стороны $KL$ и $LV$ опустили перпендикуляры $AE$ и $AW$ соответственно. Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника $KLV$, если….

| Автор:
| |

[latexpage] Задача. Виктор Михайлович положил в банк 96000 рублей. Несколько лет ему начислялись то 5%, то 10% годовых, а за последний год начислили 25% годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад стал равным 160083 рублей. Сколько лет пролежал вклад в банке? Задача несложная. Итак,….

| Автор:
| |

[latexpage] Необходимо найти значение параметра, такое, чтобы уравнение имело единственное решение. Знакомимся с видом уравнения, задающего полуокружность. Задача. Чему равно значение параметра $m$, если уравнение $$mx-\sqrt{-x^2-28x+380}=-110+11m+10x$$ имеет единственное решение? Перепишем немного иначе: $$\sqrt{-x^2-28x+380}= mx +110-11m-10x $$ Поработаем с правой частью: $$\sqrt{-x^2-28x+380}= x(m-10) -11(m-10)$$ $$\sqrt{-x^2-28x+380}= (x-11)(m-10)$$ Теперь займемся левой частью. $$\sqrt{-x^2-28x-196+576}= (x-11)(m-10)$$ $$\sqrt{-(x+14)^2+576}= (x-11)(m-10)$$ В левой….

| Автор:
| |

[latexpage] Задачи на развитие логики, внимания, сообразительности. Да, эти задачи, возможно, и не похожи на задания  ЕГЭ, но помочь его  сдать могут. Особенно при решении задачи 19 (на целые числа и делимость). Задача 1. Алексей и Денис считают деревья, растущие вокруг озера. Оба двигаются в одном направлении, но начинают счет с разных деревьев. Чему равно….

| Автор:
| |

[latexpage] Иногда встретишь пару -тройку задач, на которые в повседневности не наталкиваешься. Всегда интересно решить такую, додуматься, как это сделать. Задача 1. Вычислите все возможные значения выражения $-8\varphi-3z$, если величины $\varphi$ и $z$ являются решением уравнения: $$(112\varphi +73+49\varphi^2)\cdot(-12z+10+4z^2)-9=0$$ Поскольку в уравнении присутствуют две разные переменные, то перепишем его в таком виде: $$(112\varphi +73+49\varphi^2)\cdot(-12z+10+4z^2)=9$$ Произведение двух….

| Автор:
| |

[latexpage] Неравенства – одна из сложных задач ЕГЭ, требующая больших знаний и большой внимательности. Особенно, если в неравенстве присутствует модуль, который необходимо грамотно снять. Задача 1. Решите неравенство: $$\left((\varphi+4)^{-1}-(\varphi+1)^{-1}\right)^2<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid}{(\varphi ^2+5\varphi +4)^2}$$ Переписываем в более привычном виде: $$\left(\frac{1}{\varphi+4}-\frac{1}{\varphi+1}\right)^2<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid}{(\varphi ^2+5\varphi +4)^2}$$ Приводим к общему знаменателю левую часть: $$\left(\frac{\varphi+1-\varphi-4}{(\varphi+4)(\varphi+1)}\right)^2<\frac{\mid\varphi ^2-7\varphi  \mid}{(\varphi ^2+5\varphi +4)^2}$$ Упрощаем:….

| Автор:
| |

[latexpage] Решим несколько неравенств с модулем. Как правило, наличие модуля в неравенстве вызывает если не испуг, то напряжение (ну не любят обычно с модулем возиться), поэтому лишний раз потренируем решение такого вида неравенств. Задача 1. Решите неравенство: $$\frac{3\mid \upsilon+9 \mid}{1+\frac{20}{\mid \upsilon+9 \mid}}-3>0$$ Приведем к общему знаменателю … знаменатель. $$\frac{3\mid \upsilon+9 \mid}{\frac{\mid \upsilon+9 \mid +20}{\mid \upsilon+9….

| Автор:
| |

[latexpage] Задача сложная. Требует много дополнительных построений, видения подобных треугольников, применения различных теорем. Задача. Три окружности $\alpha$, $\Upsilon$ и $\Omega$ попарно касаются внешним образом. Пусть $W$- точка касания $\alpha$ и $\Omega$, $Q$ – точка касания $\Upsilon$ и $\Omega$. Прямая $WQ$ пересекает общую внешнюю касательную к окружностям $\alpha$ и $\Upsilon$ в точке $S$. Через точку $S$….

| Автор:
| |

[latexpage] Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям! Задача. Найдите значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение $$3(x-2)^2=-2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)-3a+3$$ имеет решения. Перепишем уравнение иначе: $$3(x^2-4x+4)+3a-3= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$ $$3x^2-12x+12+3a-3= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$ $$3x^2-9x+3-3x+3a+6= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$ $$3(x^2-3x+1)-3(x-a-2)= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$ $$3(x^2-3x+1)+2\sin(x^2-3x+1)=3(x-a-2)+2\sin(x-a-2)$$ Видим, что выражения справа и слева….

| Автор:
| |