Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике

Месячные архивы: Январь 2016

[latexpage] Задача. Можно ли подобрать силу так, чтобы груз $m_1$ был неподвижен относительно тележки?  Трения нет. Когда тележка находится в движении, нить с грузом $m_2$  отклоняется от вертикали, и груз смещается по инерции в сторону, противоположную движению тележки, как показано на рисунке. Очевидно, что тележка движется вправо, в ту сторону, куда подталкивает ее сила $F$…..

| Автор:
| |

[latexpage] Задача 1. За промежуток времени $\Delta t=10$ с тело прошло половину окружности радиусом 100 см. Найти среднюю путевую скорость $\upsilon$ и модуль средней скорости $\left|\vec{\upsilon_{sred}}\right|$. Решение: средней путевой скоростью называется средняя скорость прохождения пути, которую мы с вами вычисляем, деля весь путь (длину траектории) на все время. Модуль средней скорости еще называют средней скоростью….

| Автор:
| |

[latexpage] 1.Решить неравенство. $$\frac{ 4\log_{0,3} x+1}{ \log_{0,3} x+1}\leqslant\log_{0,3} x+1$$ ОДЗ: $$\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x+1\neq 0}\\{x>0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x\neq -1}\\{x>0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x\neq \log_{0,3} {\frac{10}{3}}}\\{x>0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{ x\neq  {\frac{10}{3}}}\\{x>0}\end{matrix}$$   Обозначим $\log_{0,3} x=a$, тогда $$\frac{ 4a+1}{a+1}\leqslant {a+1}$$ $$\frac{ 4a+1-(a+1)^2}{a+1}\leqslant 0$$ $$\frac{-a^2+2a}{a+1}\leqslant 0$$ $$\frac{a(2-a)}{a+1}\leqslant 0$$ Решение этого неравенства представлено на рисунке: Теперь производим обратную замену: $$\log_{0,3} x \leqslant 0$$ $$\log_{0,3} x \leqslant….

| Автор:
| |

[latexpage] 1. Решить уравнение. $$4 \cos^2 {3x}-4 \cos(3x-\frac{\pi}{2})-1=0$$ Решение: преобразуем косинус разности: $$4 \cos^2 {3x}-4 (\cos3x \cdot \cos(\frac{\pi}{2})+\sin3x \cdot \sin(\frac{\pi}{2}))-1=0$$ $$4 \cos^2 {3x}-4 \sin3x -1=0$$ По формуле основного тригонометрического тождества: $$4-4 \sin^2 {3x}-4 \sin 3x -1=0$$ $$4 \sin^2 {3x}+4 \sin 3x -3=0$$ Получили квадратное уравнение относительно $\sin 3x$. Его корни: $$\sin 3x=-1,5$$ Либо $$\sin 3x=0,5$$….

| Автор:
| |

[latexpage] Рассмотрим упрощение выражений, тригонометрических и логарифмических. Потренируем формулы двойных аргументов, приведения. Вспомним правила работы с логарифмами. Задание 1. Найдите $\operatorname{tg} x$, если: $$\frac{\sin x-3\cos x}{2\sin x-\cos x}=2$$ Решение: $$\sin x-3\cos x=2(2\sin x-\cos x) $$ $$-3\sin x=\cos x$$ Тогда $\operatorname{tg} x=-\frac{1}{3}$.   Задание 2. Упростите выражение. $$7\sqrt{2}{\cos}^2 \frac{5\pi}{8}-7\sqrt{2}{\sin}^2 \frac{5\pi}{8}$$ $$7\sqrt{2}\left({\cos}^2 \frac{5\pi}{8}-{\sin}^2 \frac{5\pi}{8}\right)=$$ $$7\sqrt{2}\cos \frac{5\pi}{4}=7\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-7$$  ….

| Автор:
| |

[latexpage] В  этой статье будет рассмотрена всего одна задача: задача на закон сохранения энергии. Задача такая: Шарик скатывается с возвышенности и делает мертвую петлю радиусом $R$. Какова минимальная высота такой возвышенности? Трением пренебречь. Рассмотрим картинку. В начале своего движения шарик еще не обладает скоростью, поэтому его кинетическая энергия нулевая. Зато он обладает потенциальной энергией, поскольку….

| Автор:
| |

[latexpage] В треугольнике JVH на стороне VH выбрана точка M, а на стороне JV – точка N.  Отрезки JM и HN пересекаются в точке C. Чему равна площадь треугольника VNM, если VM:HM=2:1, площадь треугольника JVH равна 12, а площадь треугольника JNC равна 3? Решение: так как VM:HM=2:1, то $\frac{S_{JVM}}{S_{JMH}}=\frac{2}{1}$. Тогда $ S_{JVM}=8$, $ S_{JMH}=4$. Площадь….

| Автор:
| |

[latexpage] Задача 1. В параллелограмм вписана окружность. а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб. б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит ее на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба. Решение: а) Центр окружности O лежит на биссектрисе угла $BAD$. Аналогично, поскольку окружность вписана и в….

| Автор:
| |

[latexpage] 1.Решите неравенство. $$log_{\sqrt{5}^{\left(x+\frac{1}{3}\right)}}  {5^{\frac{4}{x^2+3x}} \leqslant{\frac{6}{3x+1}}$$ Область допустимых значений: $$\begin{Bmatrix}{x^2+3x\neq0}\\{3x+1\neq0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{x\neq0}\\{x\neq-3}\\{x\neq-\frac{1}{3}}\end{matrix}$$ Решение: $${\frac{4}{x^2+3x}log_{\sqrt{5}^{\left(x+\frac{1}{3}\right)}} {5}\leqslant\frac{6}{3x+1}$$ $${\frac{4}{x^2+3x}log_{5^{\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{6}\right)}} {5}\leqslant\frac{6}{3x+1}$$ $${\frac{4}{x^2+3x}\frac{1}{\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{6}\right)}log_5 {5}\leqslant\frac{6}{3x+1}$$   $$\frac{8}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\leqslant \frac{6}{3x+1}$$ $$\frac{24}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}-\frac{6}{3x+1}\leqslant 0$$ $$\frac{24-6x^2-18x}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\leqslant 0$$ $$\frac{4-x^2-3x}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\leqslant 0$$ $$\frac{x^2+3x-4}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\geqslant 0$$ $$\frac{(x-1)(x+4)}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\geqslant 0$$ Ответ:$[-4;-3) \cup (-\frac{1}{3};0) \cup [1;+\infty)$ 2.Решите неравенство. $$\log_{\frac{25-x^2}{16}} \frac{24+2x-x^2}{14}-1>0$$ Область допустимых значений: $$\begin{Bmatrix}{\frac{25-x^2}{16}\neq1}\\{\frac{25-x^2}{16}>0}\\{\frac{24+2x-x^2}{14}>0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{\frac{25-x^2}{16}-\frac{16}{16}\neq0}\\{25-x^2>0}\\{24+2x-x^2>0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{9-x^2\neq0}\\{25-x^2>0}\\{24+2x-x^2>0}\end{matrix}$$ $$\begin{Bmatrix}{x\neq\pm3}\\{x>-5}\\{x<5}\\{x>-4}\\{ x<6}\end{matrix}$$ Объединяем решения неравенств системы, определяющей ОДЗ неравенства:….

| Автор:
| |

[latexpage] Задача 1. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При….

| Автор:
| |