Разделы сайта

Категория:

...z

Задачи С6 - ОГЭ 2015. Трапеция.

02.01.2015 13:19:24 | Автор: Анна

1. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF=24, BF=10.


Задача 1

Сумма углов при боковой стороне трапеции, как известно, равна {180{circ}}. Каждая из биссектрис разделит свой угол пополам, поэтому сумма углов FBA и BAF будет равна {180{circ}}/2={90{circ}}, и значит, треугольник BAF - прямоугольный, и его гипотенузу АВ можно определить по теореме Пифагора: AB=sqrt{{AF}^2+{BF}^2}=sqrt{24^2+10^2}=sqrt{676}=26

Ответ: 26.

2. Боковые стороны AB  и CD трапеции ABCD равны соответственно 36 и 39, а основание ВС  равно 12. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.


Задача 2

Так как по условию  АК=КB=18, то точка К - один из концов средней линии. Проведем среднюю линию трапеции. Тогда L - середина CD, и CL=LD=19,5. Образовался треугольник KLD, который является равнобедренным: биссектриса KD разделит угол ADC пополам, а углы KLD и KAD равны как накрестлежащие. Тогда средняя линия этой трапеции равна 19,5, а это значит, что нижнее основание равно 27 - тогда полусумма оснований будет равна 19,5.

Проведем высоты трапеции. Высоты отсекут от нижнего основания трапеции отрезки  AM  и ND, которые мы обозначим a и b. Тогда высоту трапеции можно записать для прямоугольного треугольника ABM:

h^2=36^2-a^2

Высоту можно записать и в треугольнике CND:

h^2=39^2-b^2

Приравняем данные два выражения: 36^2-a^2=39^2-b^2

Это выражение можно переписать так: b^2-a^2=39^2-36^2

А теперь разложим правую и левую части как разность квадратов: (b+a)(b-a)=(39-36)(39+36)

Сумму отрезков a и b легко определить как разность оснований трапеции: a+b=27-12=15

Подставим данную сумму в предыдущее уравнение:   15(b-a)=3*75, или  b-a=15.

Составим систему:  delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a+b=15} {b-a=15}}}{ }

Сложив два уравнения системы, найдем:  2b=30,  b=15.

Теперь можно найти высоту трапеции и ее площадь:  h^2=36^2,  h=36.

S={1/2}(27+12)*36=702.

Ответ: 702.

3. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 9, а средняя линия равна 6.


Задача 3

Для того, чтобы решить эту задачу, сделаем "финт ушами": перенесем диагональ BD вправо на длину верхнего основания трапеции ВС, образовав таким образом треугольник ACD':

С6 ОГЭ

Сторона АС нашего треугольника является диагональю трапеции и равна 15, сторона СD' - это вторая диагональ, равная 9. Основание треугольника AD'- сумма длин оснований трапеции, а так как нам известна средняя линия, то можно узнать и сумму оснований: 6*2=12. Таким образом, в треугольнике ACD' мы знаем длины всех его сторон.

Теперь вернемся к цели задачи: надо определить площадь трапеции. Она равна произведению полусуммы оснований на высоту трапеции. Но площадь треугольника ACD' равна половине произведения основания на высоту, а высота у него такая же, как и у трапеции, и половина основания - ни что иное, как средняя линия трапеции, или полусумма ее оснований! То есть искомая площадь трапеции и площадь треугольника ACD' равны. Осталось найти площадь треугольника ACD', для этого воспользуемся формулой Герона:

S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. Здесь p - полупериметр, в нашем случае половина периметра равна p={a+b+c}/2={15+9+12}/2=18

Тогда: S=sqrt{18(18-15)(18-9)(18-12)}=sqrt{18*3*9*6}=sqrt{3^4*6^2}=6*9=54

Ответ: 54.

4. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F. Биссектрисы углов С и D при боковой стороне CD пересекаются в точке G. Найдите FG, если основания равны 16 и 30, боковые стороны 13 и 15.


Задача 4

Как уже было пояснено в задаче 1, треугольники ABF и CDG - прямоугольные, это нам пригодится попозже. А сейчас рассмотрим треугольник ABM. Он равнобедренный, так как угол ABM равен углу MBC по условию, а угол AMB равен углу MBC как накрестлежащий. Аналогично и треугольник CDN также является равнобедренным по тем же соображениям. Тогда AM=AB=13, CD=DN=15, а отрезок MN= 30-13-15=2. Так как треугольник ABM равнобедренный, а треугольник ABF - прямоугольный, то отрезок AF является высотой, а также и медианой треугольника ABM и делит его сторону BM  пополам: BF=FM. Так же DG является высотой и медианой треугольника CDN, и делит NC пополам: NG=CG. Тогда можно заметить, что FG - средняя линия трапеции BMNC, и тогда она равна полусумме оснований: FG={1/2}(BC+MN)={1/2}(16+2)=9

Ответ: 9.

5. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке E. Биссектрисы углов С и D при боковой стороне CD пересекаются в точке F. Найдите EF, если средняя линия равна 21, боковые стороны 13 и 15.


Задача 5

Решение этой задачи похоже на решение предыдущей. Опять биссектрисы отсекут равнобедренные треугольники ABM и CDN: AM=AB=13, CD=DN=15. Так как треугольник ABM равнобедренный, а треугольник ABE - прямоугольный, то отрезок AE является биссектрисой, высотой, а также и медианой треугольника ABM и делит его сторону BM  пополам: BE=EM. Так же DG является биссектрисой, высотой и медианой треугольника CDN, и делит NC пополам: NF=CF. Тогда KE - средняя линия треугольника ABM, и равна половине основания: KE={1/2}(AM)={1/2}(13)=6,5, а FT - средняя линия треугольника NCD: FT={1/2}(ND)={1/2}(15)=7,5.

Найдем EF: EF=KT-KE-ET=21-6,5-7,5=7

 

6. Углы при одном из оснований трапеции АВСD равны 53 и 37 градусов, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

 

Посмотрим на рисунок. Для начала предположим, что средняя линия NM=6, а вторая линия, соединяющая середины оснований HS=2.


Задача 6

В условии этой задачи самое важное - это сумма углов при основании. Если заметить, что сумма этих углов равна 90 градусам - догадаться, как решается задача, совсем просто. Достроим нашу трапецию до треугольника. Треугольник ATD - прямоугольный (по теореме о сумме углов треугольника).  Треугольники ATD, NMT, BTC подобны (по двум углам, так как углы при основаниях этих треугольников - соответственные, а прямые BC, NM, AD - параллельны по условию). Так как треугольник ATD - прямоугольный, то, если описать около него окружность, то ее центр будет лежать на середине гипотенузы AD, в точке H, AD - диаметр этой окружности. Поэтому, если провести медиану к гипотенузе AD из вершины T, то она будет равна радиусу окружности и половине AD: AH=HD=HT. Тогда треугольники ATH, NOT, BST - равнобедренные. Кроме того, ОТ - медиана треугольника NMT и разделит его основание пополам: NO=OM=OT=3. Если же OT=3, то ST=OT-OS=2. (Отрезок SO равен 1, так как OM - средняя линия трапеции HSCD, и разделит HS пополам). Так как BS=SC=ST=2, то BC=4, и тогда из теоремы о средней линии AD=8.

Если немного подумать, то понятно, что ситуация, когда отрезок HS=6, а NM=2 - невозможна.

Ответ: 4, 8.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Архивы