Задача о бруске и тележке

Задача о бруске и тележке, которую можно решать по-разному: либо используя кинематические связи, либо через скорости и их проекции.

Задача. Небольшой брусок через систему блоков связан с тележкой нерастяжимой нитью. Тележку приводят в движение с постоянной скоростью м/ с. Какую скорость относительно тележки будет иметь брусок в тот момент, когда угол между наклонной нитью и горизонтом составит .

Ответ выразить в м/с, округлить до десятых.

Рисунок к задаче

Способ 1, с использованием кинематических связей. Обозначим длины участков:

К способу 1

Длина нити постоянна, и складывается из длин отрезков и тех кусков нити, что лежат на блоках. Из этих отрезков длина отрезка постоянна. Меняться могут только длины отрезков , и .

Длина отрезка может быть записана как

Тогда производная от второго условия

Или

А производная от первого уравнения

Но

Таким образом

Из геометрии

Подставим

Вычисляем

Способ 2, через проекции скоростей.

Любая точка веревки имеет скорость (проекцию на направление веревки), равную . Относительно пола скорости разных точек веревки будут различными (например, у вертикального отрезка – 0). Точка нижнего конца тоже будет иметь проекцию скорости на направление веревки, равное - а ведь это скорость бруска. Тогда скорость бруска относительно стола равна

К способу 2

А скорость системы отсчета, связанной с тележкой, равна . Мы ищем скорость бруска относительно данной системы отсчета. Применяем классический закон сохранения скоростей.

В проекциях на горизонтальную ось

Откуда

Вычисляем

Ответ: 4,1 м/с