Учимся решать задачу 19. Часть 1

Начинаю серию статей по подготовке к решению задачи 19. Это – первая статья данной серии, начнем с простых задач, которые в дальнейшем будут усложняться.

Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1.

На какие числа может быть сокращена дробь , где - целое?

Определим НОД числителя и знаменателя дроби. Согласно  алгоритму Евклида, если два числа делятся на одно и то же число, то их разность тоже обязана на него делиться.

НОД НОД НОД

НОД НОД

Видим, что данная дробь может быть сокращена на 2, при условии, что - четное.

Ответ: 2.

Задача 2.

Найти все натуральные , при которых дробь будет целым числом.

Выделим целую часть:

То есть дробь должна быть целым числом, или, иными словами, 5 должно делиться на . Это может быть, если , , , . В первом случае (натуральное), во втором - (тоже натуральное), в третьем случае (годится), а вот в последнем случае целое, но не натуральное.

Ответ:  1, 3, 7.

Задача 3.

Найти все натуральные , при которых дробь будет целым числом.

Выделим целую часть:

Число 5 должно делиться на , то есть либо 1, либо 5.

В первом случае , во втором - . Последнее нас устроит, это натуральное число.

Ответ: .

Задача 4.

Найти все натуральные , при которых делится на .

Выделим целую часть, для этого разделим в столбик многочлен на многочлен:

То есть - целое. Натуральными делителями числа 30 являются 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. При таких делителях будет равно -1, 0, 1, 3, 4, 8, 13, 28. Натуральными являются 1, 3, 4, 8, 13, 28.

Ответ: 1, 3, 4, 8, 13, 28.

Задача 5.

Дано трехзначное число (не может начинаться с 0), не кратное 100.

а) может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 70?

б) может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?

в) какое наибольшее натуральное значение может принимать частное этого числа и суммы его цифр?

Решим а). Пусть есть число

Тогда

Упрощаем:

Тогда должно делиться на 10. Но - цифра, .

Значит, может принимать только значение 0. Если так, то

Если , условие выполнено.

Решаем б).

Аналогично пункту а)

Упрощаем:

Если , то решений в целых числах при нет  ().

Тогда

Понятно, что .

Если , на подобрать. Если - тоже.

Решаем в).

Нам необходимо получить максимальное значение дроби. Это возможно, если минимизировать знаменатель. В знаменателе присутствует слагаемое , положим его равным 0. Если , то

Снова ищем максимум. Хорошо бы, чтобы , но в этом случае число будет делиться на 100, что противоречит условию. Тогда, чтобы минимизировать числитель, примем .

Теперь нужно добиться, чтобы из 100 вычиталось как можно меньшее число. То есть дробь должна быть минимальной. Этого можно добиться при максимальном значении знаменателя. То есть берем максимальное возможное значение - 9.  Тогда .

Ответ: а) да;   б) нет;  в) 91, если число 910.