Рубрики

Учимся решать задачу 19. Часть 2

26.09.2019 10:30:17 | Автор: Анна

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – вторая статья данной серии. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1.

На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел. Все числа различны и не превосходят 5000. Известно, что сумма любых двух написанных чисел делится на хотя бы одно из оставшихся.

а) может ли быть написано 1024 числа?

б) может ли быть написано ровно 5 чисел?

в) Какое минимальное количество чисел может быть написано?

Решаем а). Пусть есть число Учимся решать задачу 19. Часть 2. Например, Учимся решать задачу 19. Часть 2. Тогда 1024 числа могут быть написаны, к примеру 1, 2, 3, 4… 2045. Тогда сумма любых двух нечетных делится на 2, сумма любых двух делится на 1, а сумма 1+2 делится на 3.

Решаем б). Если  взять числа Учимся решать задачу 19. Часть 2, то условие будет выполняться. Тогда

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Наш пример тогда 409, 818, 1227, 1636, 2045.

Решаем в) Пусть написано три числа Учимся решать задачу 19. Часть 2. Будем считать Учимся решать задачу 19. Часть 2. Должно выполняться Учимся решать задачу 19. Часть 2, Учимся решать задачу 19. Часть 2, Учимся решать задачу 19. Часть 2. Если Учимся решать задачу 19. Часть 2 делится на Учимся решать задачу 19. Часть 2, то должно быть Учимся решать задачу 19. Часть 2. Так как мы приняли Учимся решать задачу 19. Часть 2, то Учимся решать задачу 19. Часть 2, значит, Учимся решать задачу 19. Часть 2, то есть  Учимся решать задачу 19. Часть 2.

Тогда Учимся решать задачу 19. Часть 2, значит, Учимся решать задачу 19. Часть 2 делится на Учимся решать задачу 19. Часть 2  Учимся решать задачу 19. Часть 2, следовательно, Учимся решать задачу 19. Часть 2, и аналогично предыдущим рассуждениям Учимся решать задачу 19. Часть 2, то есть  Учимся решать задачу 19. Часть 2. Следовательно, Учимся решать задачу 19. Часть 2. Тогда имеем ряд Учимся решать задачу 19. Часть 2. Но число 2045 не делится ни на 2, ни на 3. Тогда Учимся решать задачу 19. Часть 2, но при этом число Учимся решать задачу 19. Часть 2 больше 5000. То есть три числа не могут быть написаны.

Решаем в). Предположим, чисел 4. Тогда это могут быть числа Учимся решать задачу 19. Часть 2, Учимся решать задачу 19. Часть 2. То есть из ряда, полученного в пункте а) мы исключили число Учимся решать задачу 19. Часть 2 (так как нам нужно было оставить Учимся решать задачу 19. Часть 2 и Учимся решать задачу 19. Часть 2, чтобы Учимся решать задачу 19. Часть 2, Учимся решать задачу 19. Часть 2, Учимся решать задачу 19. Часть 2.

Ответ: а) да, например 409, 818, 1227, 1636, 2045; б) нет; в) да, например 409, 818, 1227, 2045.

Задача 2.

Цифры четырехзначного числа, кратного 9, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили число 909. Найдите максимально возможное исходное число.

Пусть есть число Учимся решать задачу 19. Часть 2

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Новое число Учимся решать задачу 19. Часть 2

Учимся решать задачу 19. Часть 2

По условию

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Упрощаем

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Сократим

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Можно записать

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Видно, что это равенство выполняется, если Учимся решать задачу 19. Часть 2, Учимся решать задачу 19. Часть 2.Число Учимся решать задачу 19. Часть 2, поскольку мы ищем максимально возможное исходное, то примем Учимся решать задачу 19. Часть 2. Тогда Учимся решать задачу 19. Часть 2.

Сумма цифр исходного числа должна делиться на 9, Учимся решать задачу 19. Часть 2, следовательно, Учимся решать задачу 19. Часть 2 или Учимся решать задачу 19. Часть 2. Но мы помним, что разность этих двух чисел 1. Поэтому нас устроит Учимся решать задачу 19. Часть 2, Учимся решать задачу 19. Часть 2. Вариант с Учимся решать задачу 19. Часть 2 не дает натуральных решений.  Тогда искомое число 9018.

Ответ: 9018.

Решим ту же задачу, только найдем все варианты чисел и минимально возможное.

Задача 2a. Цифры четырехзначного числа, кратного 9, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили число 909. Найдите все возможные исходные числа.

Аналогично предыдущей задаче

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Новое число Учимся решать задачу 19. Часть 2

Учимся решать задачу 19. Часть 2

По условию

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Упрощаем

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Сократим

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Можно записать

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Видно, что это равенство выполняется, если Учимся решать задачу 19. Часть 2, Учимся решать задачу 19. Часть 2.

Также, поскольку исходное делится на 9, то сумма его цифр должна делиться на 9.

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Откуда понятно, что Учимся решать задачу 19. Часть 2 - четное (левая часть делится на 2, значит, и правая тоже). При Учимся решать задачу 19. Часть 2

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Переберем варианты.

[table id=27 /]

Ответ: 8127, 3276, 6345, 5454, 4563, 3672, 2781 - минимальное число.

26.09.2019 10:30:17 | Автор: Анна

|

Профи.ру

Пароль для библиотеки – 777

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы