Рубрики

Три системы с параметром

24.10.2016 19:39:16 | Автор: Анна

Три системы с параметрами, при решении которых потребовалось привлечь свойства функций, например, ограниченность и четность; идею симметрии, которая помогает определить количество корней; подбор корней; геометрическое определение значения параметра.

Задача 1.

При каких значениях параметра Три системы с параметром система уравнений

Три системы с параметром

имеет одно решение?

Заметим, что оба уравнения очень друг на друга похожи. Заменой Три системы с параметром на Три системы с параметром можно получить из первого второе. То есть в задаче присутствует симметрия. Иначе говоря, можем написать, что если имеется решение Три системы с параметром, то обязательно будет и решение Три системы с параметром. У такой симметричной системы количество решений будет четным (если, конечно, два указанных решения не совпадают – тогда решение одно). Если Три системы с параметром, то

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Приравняем дискриминант к нулю, и тогда решение единственное:

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Три системы с параметром

На этом этапе решения успокаиваться рано, надо еще проверить, действительно ли система будет иметь одно решение при найденном Три системы с параметром, для этого подставим его в систему:

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Получили два симметричных уравнения, которые очень удобно вычесть друг из друга:

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Имеем, что или  Три системы с параметром, или Три системы с параметром

Подставляем первый случай в первое уравнение системы:

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Теперь подставим Три системы с параметром в первое уравнение системы:

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Это уравнение решений не имеет.

В таком случае значение Три системы с параметром нас устраивает.

Ответ: Три системы с параметром.

 

Задача 2.

При каких значениях параметра Три системы с параметром система уравнений

Три системы с параметром

имеет единственное решение?

Обращаем внимание на то, что Три системы с параметром у нас присутствует или под знаком модуля, или в квадрате, то есть при замене Три системы с параметром на Три системы с параметром ничего не изменится. А вот с Три системы с параметром такая замена не пройдет. Поэтому если есть решение Три системы с параметром, то обязательно будет и решение Три системы с параметром. Если ввести функцию, то она будет четной. Четная функция имеет симметрично расположенные корни. Их количество может быть нечетным и четным: в последнем случае она не проходит через точку Три системы с параметром.   Тогда, чтобы получить нечетное количество корней, приравняем Три системы с параметром к нулю, заставив таким образом функцию пройти через эту точку:

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Тогда параметр найдем, подставив найденные Три системы с параметром в первое уравнение:

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Теперь снова надо проверить, подойдут ли найденные значения параметра!

Подставляем в исходную систему первое полученное значение:

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Во втором уравнении содержатся ограничения на значения Три системы с параметром и Три системы с параметром, а именно: обе переменных не превосходят 1 по модулю. Поэтому Три системы с параметром. Также Три системы с параметром, и тогда

Три системы с параметром.  То есть получили, что

Три системы с параметром

А нам известно, что наибольшее значение Три системы с параметром - это 1. То есть Три системы с параметром, а Три системы с параметром.

Первое значение параметра, таким образом, нас полностью устраивает: при Три системы с параметром имеем единственное решение.

Проверим второе значение параметра:

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Решение этой системы довольно сложное, поэтому попробуем подобрать корни. Если Три системы с параметром, то из второго Три системы с параметром, а если Три системы с параметром, то Три системы с параметром - это решение «всплывает» при попытке обнулить скобку Три системы с параметром, которая нам мешает. Итак, при втором значении параметра имеем три решения, что нас совсем не устраивает. Поэтому ответ: Три системы с параметром.

 

Задача 3.

При каких значениях параметра Три системы с параметром система уравнений

Три системы с параметром

имеет ровно три решения?

Имеем модуль Три системы с параметром. Попробуем раскрыть его и посмотреть, что получится. При Три системы с параметром получим:

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Первое уравнение распадается:

Три системы с параметром

Получили прямую Три системы с параметром, полуокружность Три системы с параметром с центром в начале координат и радиусом 2, и прямую, наклоненную к оси Три системы с параметром на угол Три системы с параметром.

При Три системы с параметром получим:

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Второе уравнение распадается:

Три системы с параметром

Три системы с параметром

Получили прямую Три системы с параметром, полуокружность Три системы с параметром с центром в точке (0; -1) и радиусом 1, и прямую, наклоненную к оси Три системы с параметром на угол Три системы с параметром.

Необходимо построить соответствующие элементы и найти такое значение параметра, при котором последняя прямая, положение которой зависит от параметра Три системы с параметром, пересекала бы остальные элементы трижды.


Рисунок 1

На рисунке 1 видно, что нужные нам положения рыжей прямой начинаются при Три системы с параметром (определяется как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника Три системы с параметром с катетом 2), и при Три системы с параметром снова будет два пересечения. Эти точки не войдут в решение.


Рисунок 2

После точки Три системы с параметром снова имеем три пересечения. Три пересечения будет вплоть до Три системы с параметром (точка войдет в решение, так как пересечения тут три, это надо увидеть), затем, выше – 4 пересечения. Еще раз три пересечения встретятся только единожды: при касании прямой и малой полуокружности.


Рисунок 3

Определим значение параметра в этом случае. Это положение соответствует значению параметра Три системы с параметром (гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника Три системы с параметром с катетом 1,  за вычетом 1).

Ответ: Три системы с параметром.

24.10.2016 19:39:16 | Автор: Анна

|

Профи.ру

Пароль для библиотеки – 777

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы