Рубрики

Категория:

Третий закон Кеплера ...

Третий закон Кеплера

06.08.2020 08:57:15 | Автор: Анна

В этой статье решаем задачи на второй закон Кеплера. Задачи взяты с сайта «myastronomy.ru».

Задача 1.

Уран совершает полный оборот вокруг Солнца за 84 земных года. Во сколько раз (в среднем) он дальше от Солнца, чем Земля?

Решение. Воспользуемся третьим законом Кеплера:

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Ответ: Уран дальше в 19,2 раза.

 

Задача 2.

Расстояние от астероида Веста до Солнца изменяется в пределах от 2,2 до 2,6 а.е. Найдите период обращения астероида.

Решение. Нам даны перигельное и афелийное расстояния. Значит,

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Далее применим третий закон Кеплера:

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Ответ: период Весты составляет 3,72 года.

 

Задача 3.

Расстояние от Солнца до астероида Юнона изменяется в пределах от 1,99  до 3,55 а.е., до астероида Паллада от 2,13 до 3,40 а.е. У какого из астероидов больше а) период обращения б) эксцентриситет орбиты?

Решение. Аналогично предыдущей задаче, для Юноны

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Далее определим эксцентриситет:

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Для Паллады:

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Далее определим эксцентриситет:

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Ответ: и эксцентриситет, и период больше у Юноны.

 

Задача 4.

Радиолокационными методами установлено, что кратчайшее расстояние между Землей и Венерой равно 0,28 а.е. Каков период обращения Венеры вокруг Солнца? Орбиты обеих планет считать окружностями, лежащими в одной плоскости.

Решение.  Кратчайшим будет расстояние между планетами, когда они в нижнем соединении. Применим третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Мы получили период в годах, давайте переведем в земные сутки: 223.

Ответ: 223 сут.

Задача 5. Астероид Икар проходит перигелий своей орбиты каждые 409 суток, приближаясь к Солнцу на расстояние 0,187 а.е. Как далеко может удаляться от Солнца Икар?

Решение. Нужно найти афелийное расстояние, зная перигелий и период. Сначала применим третий закон Кеплера:

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Теперь, зная, что Третий закон Кеплера, определяем афелийное расстояние:

Третий закон Кеплера

Теперь рассчитаем эксцентриситет:

Третий закон Кеплера

Ответ: Третий закон Кеплера а.е.

 

Задача 6.

Найдите период обращения (в годах) астероида, у которого перигелий находится на орбите Земли, а эксцентриситет орбиты Третий закон Кеплера.

Решение. Если Третий закон Кеплера а.е., то можем определить большую полуось:

Третий закон Кеплера

Следовательно,

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

По третьему закону Кеплера:

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Ответ: 2,8 года.

Задача 7.

Комета Галлея обращается вокруг Солнца за 76 лет, планета Нептун - за 165 лет. Кто из них более удалён от Солнца в точке афелия своей орбиты?

Решение. По третьему закону Кеплера:

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Так как большая полуось для Нептуна равна 30,1 а.е., то

Третий закон Кеплера

У кометы Галлея очень большой эксцентриситет, он равен 0,967. Поэтому

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Эксцентриситет орбиты Нептуна 0,011. То есть она вытянута совсем немного, и афелийное расстояние близко к большой полуоси. Значит, комета Галлея удаляется от Солнца дальше Нептуна.

 

Задача 8.

В романе Жюля Верна "Гектор Сервадак" описана комета Галлия с расстоянием от Солнца в афелии 820 млн. км и периодом обращения 2 года. Могла ли быть такая комета в действительности?

Решение. По третьему закону Кеплера:

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Таким образом, большая полуось орбиты такой кометы должна быть равна 1,587 а.е., а это больше, чем 820 млн. км.

Ответ: нет.

 

Задача 9.

Космический зонд начинает падать на Солнце с орбиты Земли без начальной скорости. Оцените время падения.

Решение. Пусть падение происходит по очень вытянутому эллипсу. Тогда для этого эллипса Третий закон Кеплера а.е., Третий закон Кеплера а.е. По третьему закону Кеплера

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Период зонда составил бы Третий закон Кеплера суток. А так как зонд осуществляет движение только туда, то потратит время, равное половине периода, или 65 суток приблизительно.

Задача 10.

Определите период обращения искусственного спутника Земли, если наивысшая точка его орбиты - 5000 км над поверхностью Земли, а наинизшая - 300 км. Землю считать шаром с радиусом 6370 км. Известны период обращения и большая полуось орбиты Луны (27,3 суток, 384,4 тыс. км).

Решение: для данного спутника перигельное расстояние Третий закон Кеплера км, афелийное - Третий закон Кеплера км.  Определим длину большой полуоси

Третий закон Кеплера

Тогда по третьему закону Кеплера

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Переведем период из суток в часы: Третий закон Кеплера часа.

Ответ: период обращения составит 2,4 часа.

 

Задача 11.

Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось её орбиты и звёздный период обращения?

Решение: так как речь о противостояниях, то планета внешняя. Чтобы произошло противостояние, необходимо, чтобы Земля обгоняла эту внешнюю планету на круг за 2 года. То есть угловая скорость сближения (разность угловых скоростей) составит Третий закон Кеплера, или Третий закон Кеплера в год. Таким образом,

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Таким образом, неизвестная планета делает полный оборот за два года, и по третьему закону можно определить большую полуось орбиты для нее:

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Все говорит о том, что неизвестная планета – это Марс.

 

Задача 12.

Противостояния Марса повторяются через 780 суток, видимый диаметр Марса в противостоянии изменяется в пределах от Третий закон Кеплера до Третий закон Кеплера По этим данным определите эксцентриситет марсианской орбиты. Орбиту Земли считать окружностью, наклонением орбиты Марса пренебречь.

Решение: когда момент противостояния совпадает с нахождением Марса в афелии, расстояние от Земли до Марса максимально, а видимый диаметр Марса – минимален, и наоборот, когда момент противостояния совпадает с нахождением Марса в перигелии, расстояние от Земли до Марса минимально, а видимый диаметр Марса – максимален. Видимый диаметр и расстояние линейно зависят друг от друга, поэтому

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Решим это уравнение.

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Определим период по данным задачи

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Таким образом, период Марса составляет 686 дней. А зная его, можно определить и большую полуось орбиты по третьему закону Кеплера:

Третий закон Кеплера

Вернемся к расчету эксцентриситета:

Третий закон Кеплера

Ответ: эксцентриситет орбиты Марса примерно равен 0,1.

Задача 13.

Эксцентриситет орбиты Плутона составляет 0,25. Оцените, на сколько звёздных величин различается его блеск в афелии и перигелии, если планету наблюдают с Земли в противостоянии?

Решение. Различие блеска объясняется тем, что, чем дальше светящийся объект, тем больше радиус сферы, на поверхность которой распределяется весь его свет. А площадь сферы пропорциональна квадрату ее радиуса.


Рассеяние света от объекта с расстоянием

Значит, освещенность изменяется в квадрате с ростом расстояния.

Поэтому по формуле Погсона

Третий закон Кеплера

Расстояние до Плутона в момент противостояния и при прохождении Плутоном афелия:

Третий закон Кеплера

Расстояние до Плутона в момент противостояния и при прохождении Плутоном перигелия:

Третий закон Кеплера

Большая полуось орбиты Плутона составляет примерно 39,5 а.е. Тогда

Третий закон Кеплера

Ответ: блеск Плутона будет отличаться на Третий закон Кеплера.

 

Задача 14.

Видимая с Земли звёздная величина некоторой планеты в противостоянии на 3,43 звёздной величины меньше, чем в соединении. Какая это планета?

Решение. Поступим так же, как и при решении предыдущей задачи.

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Расстояние до планеты в соединении:

Третий закон Кеплера

Расстояние до планеты в противостоянии:

Третий закон Кеплера

Тогда

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Следовательно,

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера

Эта планета – Марс.

Ответ: Марс.

 

06.08.2020 08:57:15 | Автор: Анна

|

Профи.ру

Пароль для библиотеки – 777

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы