Рубрики

Категория:

Свойства чисел - 6 ...

Свойства чисел - 6

25.03.2021 06:43:46 | Автор: Анна

Сегодня рассмотрим несколько задач на целые числа.  Эти задачи встречаются профильном ЕГЭ под номером 19.

Задача 1.

Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Решение: а) первый способ:

Свойства чисел - 6

Свойства чисел - 6

Свойства чисел - 6

Слагаемое Свойства чисел - 6 - делится на 10, слагаемое Свойства чисел - 6 - тоже. Значит, и слагаемое Свойства чисел - 6 должно делиться на 10. Так как 89 не делится на 10, значит, Свойства чисел - 6 должна делиться на 10 – а Свойства чисел - 6 - это цифра. Поэтому Свойства чисел - 6, тогда

Свойства чисел - 6

Свойства чисел - 6

Свойства чисел - 6

Второй способ. Число точно делится на 90. Значит, это могут быть числа 180, 270, 360, 450, 540, 630, 720, 810. Сумма цифр каждого из них равна 9, и только у последнего сумма цифр – 18. Значит, подходит число 810 – оно равно Свойства чисел - 6.

Третий способ: если число делится на 90, значит, оно делится на 9. Например, Свойства чисел - 6, а Свойства чисел - 6 - не трехзначное.

б) Если число кратно 88, то оно может быть равно

Свойства чисел - 6 - сумма цифр не 2,

Свойства чисел - 6 - сумма цифр не 3,

Свойства чисел - 6 - сумма цифр не 4,

Свойства чисел - 6 - сумма цифр не 5,

Свойства чисел - 6 - сумма цифр не 6,

Свойства чисел - 6 - сумма цифр не 7,

Свойства чисел - 6 - сумма цифр не 8,

Свойства чисел - 6 - сумма цифр не 9.

Решения нет.

Второй способ:

Свойства чисел - 6

Свойства чисел - 6

Свойства чисел - 6

Даже если Свойства чисел - 6 и Свойства чисел - 6, то правая часть больше 160, а левая, если Свойства чисел - 6 - наибольшее, Свойства чисел - 6. Равенства нет. То есть либо Свойства чисел - 6, Свойства чисел - 6, тогда

Свойства чисел - 6

Нет целых решений.

Либо Свойства чисел - 6, Свойства чисел - 6, тогда

Свойства чисел - 6

Нет целых решений.

в) Поступаем так же, как в первом случае:

Свойства чисел - 6

Свойства чисел - 6

Свойства чисел - 6

Так как Свойства чисел - 6, то Свойства чисел - 6, значит, левая часть меньше 90.

Свойства чисел - 6 - больше 80, Свойства чисел - 6 - больше 89. Как и в пункте б), возможен случай, когда Свойства чисел - 6, Свойства чисел - 6, тогда

Свойства чисел - 6

При Свойства чисел - 6, Свойства чисел - 6. Получаем 810.

При Свойства чисел - 6, Свойства чисел - 6. Получаем 910.

Также возможен случай, когда Свойства чисел - 6, Свойства чисел - 6, тогда

Свойства чисел - 6

При Свойства чисел - 6, Свойства чисел - 6. Получаем

Свойства чисел - 6 - решений нет, 901 не делится на 10.

Ответ: а) да, например, 810; б) нет; в) да, 91, пример – 910.

Задача 2.

На доске написано число 2015 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел, не превосходящих 5000. Все написанные на доске числа различны. Сумма любых двух из написанных чисел делится на какое-нибудь из остальных.

а) Может ли на доске быть написано ровно 1009 чисел?

б) Может ли на доске быть написано ровно пять чисел?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске?

Решение:

а) возьмем 1, как наиболее удобное число, на которое делится любая сумма любых чисел. Если все числа за 1 до 2015 нечетные, то можно взять 2 – тогда сумма любого числа и 1 четна и будет делиться на 2. И еще, чтобы сумма 1 и 2 делилась на что-то, возьмем 3. Вообще всего нечетных чисел до 2015 – 1008. Вместе с 2 – 1009. То есть берем ряд 1,2, 3, 5, 7, 9… 2015.

б) Да, например 1,2,3,5, 2015.

в)  Четыре числа может быть: для этого отбросим 5. Получим 1,2,3, 2015.

Посмотрим, может ли быть три числа: пусть есть числа Свойства чисел - 6, Свойства чисел - 6 и 2015. Пусть Свойства чисел - 6. Должно выполняться

Свойства чисел - 6

Если Свойства чисел - 6, то может быть только, что Свойства чисел - 6. Тогда Свойства чисел - 6, и

Свойства чисел - 6

Свойства чисел - 6

То есть Свойства чисел - 6. И аналогично Свойства чисел - 6. Разложим 4030 на множители:

Свойства чисел - 6

Так как сумма Свойства чисел - 6, то какое-то из слагаемых должно быть больше 1000. Например, Свойства чисел - 6, но тогда Свойства чисел - 6 - не подходит. Если же Свойства чисел - 6, но тогда Свойства чисел - 6 - а это число не является делителем 4030. Таким образом, три числа быть не может.

Ответ: а) 1,2,3,5,7,9… 2015;   б) 1,2,3,5, 2015; в) нет.

 

Задача 3.

Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться 0?

6) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Решение.

а) Чтобы получился ноль, нужно, чтобы какая-либо из сумм оказалась бы нулем. Этого не получится, потому что среди представленных чисел нет противоположных.

б) Чтобы в результате получилась 1, надо, чтобы все суммы были бы равны 1 или -1. Этого тоже не получится, так как 1 и -2 дадут в сумме -1, -3 и 4  дадут 1, -8 и 9 – тоже 1, а вот -5 и 7 – 2.

в) Поскольку карточек 8, то появится две двойки в качестве сумм: и в паре 7, 9  одна из цифр даст двойку, и в паре -3 и -5 одна из цифр тоже даст двойку. Поэтому наименьшим произведением может быть только 4.

25.03.2021 06:43:46 | Автор: Анна

|

Профи.ру

Пароль для библиотеки – 777

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы