Свободное и "несвободное" падение. Подготовка к олимпиадам, 9 класс.

В статье предложены задачи на свободное падение тел. Будем использовать среднюю скорость и закон нечетных чисел.

Задача 1.

Тело, брошенное вертикально вверх с начальной скоростью , падало до земли время с, а тело, брошенное из этой же точки вертикально вниз с такой же по величине начальной скоростью , падало с. Какое время из этой точки будет падать тело, брошенное без начальной скорости? м/. Ответ дать в секундах. Округлить до целых.

Решение.

Пусть тело бросают с высоты . Пусть ось направлена вертикально вверх, а начало координат находится на земле. Тогда начальная координата тела . Запишем  уравнения движения для трех случаев движения тела.

Для броска с начальной скоростью вертикально вверх можно записать

для броска вертикально вниз выражение будет таким:

а для броска без начальной скорости следующим:

Зная из условия, что получим:

откуда выразим начальную скорость

Подставляя найденную начальную скорость в уравнение или получим высоту, с которой бросают тело

Теперь используем то, что

подставим в данное уравнение найденную ранее высоту и получим, что

Ответ: 6 с.

 

Задача 2.

Шарик начал падать без начальной скорости с высоты м. С задержкой в половину времени падения первого шарика из той же точки вдогонку с начальной скоростью бросили другой шарик. Чему должна быть равна минимальная начальная скорость второго, чтобы он успел долететь до земли раньше первого? м/ . Ответ выразить в м/с, округлив до целых.

Решение.

Известно, что тела бросают с высоты . Направим ось вертикально вверх и поместим начало координат в точку, расположенную на земле. Тогда начальная координата обоих тел . Заметим, что второе тело необходимо бросать вертикально вниз. Пусть его бросают с минимальной скоростью . Запишем  уравнения движения для обоих тел. Для первого тела

и для второго тела

Заметим, что второе уравнение справедливо только лишь для моментов времени , так как до этого второе тело не двигалось.

Первое уравнение, если его записать для момента времени , будет выглядеть так:

откуда время падения первого тела

Если второй шарик бросают с минимальной скоростью, то он должен долететь до земли хотя бы одновременно с первым. Если его будут бросать с большей скоростью, то он перегонит первый и условие задачи выполнится. Для второго шарика, учитывая это условие, получим

Подставив , получаем:

и окончательно

Ответ: 15 м/с.

Задача 3.

Тело, свободно падающее с некоторой высоты, за время с после начала движения проходит путь в раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найти высоту , с которой падало тело м/. Ответ выразить в метрах, округлив до целых.

Решение.

Конечная скорость при падении с высоты будет

Для первого участка

для последнего участка путь можно записать как

Или

Получим

Подставляем скорость и находим

Ответ: 320 м.

Задача 4.

За последнюю секунду падающее тело прошло путь в 2 раза больший, чем за предпоследнюю секунду. С какой скоростью тело ударилось о землю? м/. Ответ дать в м/с.

Решение.

Средние скорости на последней и предпоследней секунде отличаются в два раза и на 10 м/с. Следовательно, они равны м/с и м/с. Но скорость равна скорости тела на середине последней секунды. До конца разгона остается ещё 0,5 с. За это время тело успеет разогнаться ещё на 5 м/с. Конечная скорость 25 м/с.

Ответ: 25 м/с.

Задача 5.

От основания гладкой наклонной плоскости снизу вверх скользит льдинка. Через с и с от начала движения она дважды побывала на расстоянии см от основания плоскости. Определите начальную скорость льдинки. Ответ дать в см/с. Округлить до целых.

Решение.

Начало координатной оси поместим в основание наклонной плоскости и направим ось вверх вдоль нее. С учетом направлений векторов перемещения, ускорения и начальной скорости запишем уравнения для перемещения в проекциях на ось для моментов и . Получим:

и

Решая эту систему относительно , найдем

Ответ: 45 см/с

Задача 6.

Торможение приближающегося к станции поезда началось на расстоянии м от нее. На каком расстоянии от станции окажется поезд, идущий со скоростью м/с через с после начала торможения с ускорением м/? Ответ дать в метрах. Округлить до целых.

Решение.

Если предположить, что торможение длилось все 7 секунд, то проекция конечной скорости должна стать отрицательной

Поскольку  вряд ли поезд, остановившись, двинулся в обратную сторону, то движение длилось до остановки поезда, а оставшуюся часть времени поезд просто стоял на месте. Тормозной путь поезда при движении с начальной скоростью и ускорением до полной остановки

Окончательно, расстояние до станции

Ответ: 110 м.

 

Задача 7.

Тело из состояния покоя начинает движение с постоянным ускорением. Определите отношение путей пройденных телом за 99-ю и 4-ю секунду движения. Ответ округлите до целых.

Решение. Воспользуемся законом "нечетных чисел". Тогда за -тую секунду тело проходит путь

где с — единичный интервал времени.

Тогда отношение путей за -тую и -тую секунды

Откуда получаем ответ

Ответ: 28.

Задача 8.

С большой высоты вверх бросают тело с начальной скоростью м/с. Какой путь пройдет тело за первые с движения? м/.

Ответ дать в метрах. Округлить до целых.

Решение.

Найдем время подъема тела с.

За время подъема тело успеет пройти

За оставшееся время оставшийся путь

Общий путь

Ответ: 50 м.