Равноускоренное движение. 10 класс. Олимпиадная подготовка

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Каждому возрасту - свои задачи. Здесь - более сложные, чем для ребят 9 класса.

Задача 1.

Точка движется прямолинейно с ускорением м/с Определить разность перемещений, проходимых точкой в два последовательных одинаковых промежутка времени с. Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

При равноускоренном движении скорость точки меняется по закону где — начальная скорость. Задачу удобно решать, используя график зависимости скорости от времени.

К задаче 1

Площадь под графиком скорости - это величина  перемещения точки.

Видно, что за два последовательных интервала времени перемещения отличаются на площадь прямоугольника Стороны этого прямоугольника равны и Таким образом, искомая разность перемещений равна

Ответ: 50 м.

Задача 2.

Камень отпускают без начальной скорости, после чего он начинает падать вниз. Через промежуток времени с после этого отпускают второй камень. Через какое время после начала движения второго камня расстояние между ними будет равно м, если известно, что к этому моменту ни один из них не достигнет поверхности земли? Ответ выразить в с, округлив до целых. Ускорение свободного падения м/с

Решение.

Путь — время полёта второго камня. Тогда первый находился в воздухе в течение времени

Направим ось вертикально вниз, приняв за начало отсчёта точку старта камней. Тогда координата первого камня меняется по закону

а второго — по закону

Расстояние между камнями равно

Следовательно, искомое время равно

Ответ: 1 с.

Задача 3.

Тело из состояния покоя начинает движение с постоянным ускорением. Определите отношение путей пройденных телом за 39-ю и 4-ю секунду движения. Ответ округлите до целых.

Решение.

Для ускоряющегося из состояния покоя тела перемещения за последовательные одинаковые интервалы времени относятся как ряд последовательных нечетных чисел 1 : 3 : 5 : 7 и т. д. Пусть за 1-ю секунду тело прошло расстояние Тогда за 39-ю а за 4-ю Отношение этих расстояний

Ответ: 11.

Задача 4.

Летающая тарелка стартует с поверхности земли вертикально вверх с постоянным ускорением м/с В процессе подъема тарелка излучает частые короткие звуковые сигналы и регистрирует их отражение от поверхности земли. Через какое время после старта будет послан последний звуковой сигнал, отражение которого ещё можно зарегистрировать? Скорость звука м/с. Ответ выразить в с, округлив до целых.

Решение.

В момент испускания последнего сигнала расстояние до земли было а скорость тарелки где — искомое время. Введём ось с началом в точке испускания сигнала и направленную вверх вдоль скорости тарелки. Тогда закон изменения координаты тарелки примет вид (время отсчитывается здесь от момента испускания последнего сигнала).

Звук со скоростью должен за успеть пройти расстояние туда и обратно, а также расстояние до тарелки. Следовательно С другой стороны, поэтому

Получается квадратное уравнение

Для того, чтобы описанная в задаче ситуация случилась, необходимо, чтобы такой момент времени существовал. Значит, дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицательным. Следовательно

или

Приведя подобные слагаемые и разделив неравенство на (), получаем, что

Решением этого неравенства является отрезок: Значит, искомый (последний) момент времени равен

Ответ: 68 с.

Задача 5.

Тело, свободно падающее с некоторой высоты, за время с после начала движения проходит путь в раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найти высоту с которой падало тело. Ускорение свободного падения м/с Ответ выразить в м, округлив до целых.

Решение.

В течение первого промежутка времени шарик проходит расстояние

Из формулы следует, что скорость шарика в конце падения равна

В течение последнего промежутка времени шарик проходит путь

где - скорость в начале этого промежутка. Следовательно

Получается, что

Возведя равенство в квадрат и подставляя выражения для и получим

откуда искомая высота равна

Ответ: 180 м.