Рубрики

Подобие: увидеть и доказать!

25.12.2016 11:54:21 | Автор: Анна

Интересная планиметрическая задачка попалась на просторах интернета. Предлагаю вам мое решение.

Задача. В остроугольном треугольнике Подобие: увидеть и доказать! высоты Подобие: увидеть и доказать! пересекаются в точке Подобие: увидеть и доказать!, точки Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать! – середины отрезков Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать! соответственно, прямые Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать! пересекаются в точке Подобие: увидеть и доказать!, прямые Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать! пересекаются в точке Подобие: увидеть и доказать!. Докажите, что Подобие: увидеть и доказать!.

Решение:


Рисунок

Необходимо доказать, что отношение отрезков Подобие: увидеть и доказать!, тогда мы докажем, что Подобие: увидеть и доказать!, а Подобие: увидеть и доказать! как средняя линия треугольника Подобие: увидеть и доказать!.

Заметим, что треугольники Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать!  - прямоугольные, и, так как имеют еще равные углы Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать! (как вертикальные), то подобны по двум углам. Отсюда также следует равенство углов Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать!.

Заметим также, что Подобие: увидеть и доказать! - медиана прямоугольного треугольника Подобие: увидеть и доказать!, то есть Подобие: увидеть и доказать!, а так как Подобие: увидеть и доказать! - медиана прямоугольного треугольника Подобие: увидеть и доказать!,то Подобие: увидеть и доказать!. То есть точки Подобие: увидеть и доказать! равноудалены от точки Подобие: увидеть и доказать!, иными словами, можно описать окружность с центром в точке Подобие: увидеть и доказать! около треугольника Подобие: увидеть и доказать! и одновременно она будет являться описанной около треугольника Подобие: увидеть и доказать!. Аналогично, Подобие: увидеть и доказать! - медиана прямоугольного треугольника Подобие: увидеть и доказать!, то есть Подобие: увидеть и доказать!. Подобие: увидеть и доказать! - медиана прямоугольного треугольника Подобие: увидеть и доказать!, то есть Подобие: увидеть и доказать!. Значит, можно описать окружность с центром Подобие: увидеть и доказать! около треугольников Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать!. Отметим все равные углы на рисунке разными цифрами.

По отмеченным углам отмечаем, что подобными являются также треугольники Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать!, Подобие: увидеть и доказать!  и Подобие: увидеть и доказать!Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать!.

Докажем подобие треугольников Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать!. Они имеют два равных угла, упомянутых ранее: Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать!.

Видно, что угол Подобие: увидеть и доказать! равен двум углам Подобие: увидеть и доказать!. Докажем, что угол Подобие: увидеть и доказать! также равен двум углам Подобие: увидеть и доказать! - тогда будет доказано, что треугольники подобны.

Угол 5, как внешний угол треугольника Подобие: увидеть и доказать!, равен сумме Подобие: увидеть и доказать!. Тогда

Подобие: увидеть и доказать!

В треугольнике Подобие: увидеть и доказать! Подобие: увидеть и доказать!, следовательно:

Подобие: увидеть и доказать!

Угол Подобие: увидеть и доказать!.

Итак, треугольники Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать! подобны по двум углам. Отрезок Подобие: увидеть и доказать! является радиусом большей окружности, а отрезок Подобие: увидеть и доказать! - меньшей, поэтому коэффициент подобия Подобие: увидеть и доказать!, и, естественно, Подобие: увидеть и доказать!.

Тогда, так как Подобие: увидеть и доказать!, то  Подобие: увидеть и доказать!, что и требовалось доказать.

Из этого отношения следует подобие треугольников Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать! и параллельность прямых Подобие: увидеть и доказать! и Подобие: увидеть и доказать!, а следовательно, и то, что Подобие: увидеть и доказать!.

25.12.2016 11:54:21 | Автор: Анна

|

Профи.ру

Пароль для библиотеки – 777

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы