Последние комментарии

Анна

[latexpage] Работа за цикл в обоих случаях (и для А, и для В) равна $A=\Delta p\Delta V$. Тогда КПД...

Григорий

спасибо!...

🏠 Главная ▫️ Пирамида-2

Категория:

Пирамида-2 ...

Пирамида-2

22.08.2020 09:54:07 | Автор: Анна

Решение задач по стереометрии в общем виде – это наиболее трудно. Когда возможно провести промежуточные вычисления – всегда бывает проще. Но в трудностях как раз и закрепляются знания.

Задача 1.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна $a$ , высота равна $H$ . Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

Решение.

К задаче 1

Высота треугольника основания и его медиана

$Пирамида-2$

Точка $O$ делит $AF$ в отношении $2:1$ , считая от вершины $A$ . Поэтому

$Пирамида-2$

а) Тогда определим боковое ребро:

$Пирамида-2$

б) Зная его, можно определить плоский угол при вершине по теореме косинусов для любой грани:

$Пирамида-2$
$Пирамида-2$

в) Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды – угол $DCO$ . Поскольку нам известны все стороны треугольника $DCO$ , то можно определить любую функцию этого угла, например, тангенс.

$Пирамида-2$

г) Угол между боковой гранью и основанием пирамиды – угол $DKO$ . Также определим тангенс этого угла:

$Пирамида-2$

д) Двугранный угол при боковом ребре – угол $AEB$ , где $AE\perp DC$ , $BE\perp BC$ . Определим длину $AE$ через площадь треугольника $ADC$ .

$Пирамида-2$

Теперь запишем теорему косинусов для треугольника $AEB$ :

$Пирамида-2$

Ответ: а) $\sqrt{H^2+\frac{a^2}{3}}$ ; б) $\arccos\left(\frac{2H^2-\frac{a^2}{3}}{\frac{2a^2}{3}-2H^2}\right)$ ; в) $\operatorname{arctg} {\frac{H\sqrt{3}}{a}}$ ; г) $\operatorname{arctg}\frac{2H\sqrt{3}}{a}$ ; д) $\arccos \left({1- \frac{\sqrt{H^2+\frac{a^2}{3}} }{\sqrt{2H^2+\frac{a^2}{6}}}}\right)$ .

Задача 2.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен $\varphi$ . Найдите высоту этой пирамиды.

Решение.

К задаче 2

Высота треугольника основания и его медиана

$Пирамида-2$

Точка $O$ делит $AF$ в отношении $2:1$ , считая от вершины $A$ . Поэтому

$Пирамида-2$

Пусть ребро основания $a$ , боковое ребро равно $b$ , тогда

$Пирамида-2$

Теперь можно найти высоту пирамиды по теореме Пифагора:

$Пирамида-2$

Ответ: $H=\sqrt{\frac{32}{1-\cos\varphi}- \frac{64}{3}}$ .

Задача 3.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна $m$ , а плоский угол при вершине равен $\alpha$ . Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро пирамиды; в) угол между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

К задаче 3

Решение:

Пусть боковое ребро равно $b$ , тогда

$Пирамида-2$

Диагональ основания пирамиды равна $m\sqrt{2}$ . Ее половина $\frac{ m\sqrt{2}}{2}$ . Таким образом,

$Пирамида-2$

Теперь можно определить угол между боковой гранью и плоскостью основания. Для этого нужна апофема пирамиды. Пусть она равна $l$ :

$Пирамида-2$

Определим косинус угла между боковой гранью и основанием:

$Пирамида-2$

Осталось определить двугранный угол при боковом ребре.

$Пирамида-2$

Теперь запишем теорему косинусов для треугольника $AKC$ :

$Пирамида-2$

Ответ: а) $H=\frac{ m^2}{2}\frac{1}{(1-\cos\alpha)}$ ; б) $b=\frac{m}{\sqrt{2(1-\cos\alpha)}}$ ; в) $\cos \beta=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$ ; г) $\cos\varphi=1-\frac{1}{1+\cos\alpha }$ .