Рубрики

Категория:

Пирамида ...

Пирамида

20.08.2020 05:43:11 | Автор: Анна

В этой статье решим несколько стереометрических задач.

Задача 1.

Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и Пирамида см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите ее высоту.

Решение. Очевидно, что все боковые стороны пирамиды – равнобедренные треугольники. В том числе и те, которые имеют своим основанием основания трапеции.


К задаче 1

Найдем высоты этих двух треугольников - Пирамида и Пирамида.

Пирамида

Пирамида

Так как Пирамида и Пирамида (Пирамида и Пирамида - высоты соответствующих треугольников), то Пирамида - высота трапеции, которая по данным задачи равна 5. Таким образом, треугольник Пирамида - «осевое» сечение пирамиды и его высота и будет высотой пирамиды. Осталось ее найти. Для этого определим площадь этого треугольника и затем, зная его основание, определим высоту.

Рассчитаем треугольник Пирамида  по теореме косинусов, чтобы узнать  угол при его вершине Пирамида.

Пирамида

Пирамида

Пирамида

Тогда через основное тригонометрическое тождество

Пирамида

Удвоенная площадь треугольника Пирамида равна

Пирамида

Откуда

Пирамида
Ответ: высота пирамиды 12.

 

Задача 2.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в Пирамида с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.


К задаче 2

Решение. Если с плоскостью основания боковое ребро образует угол в Пирамида, значит, с высотой – угол в Пирамида. А против угла в Пирамида лежит катет, равный половине гипотенузы – значит, половина диагонали основания пирамиды – 6. А вся диагональ – 12. Площадь основания найдем по формуле для ромба:

Пирамида

Если диагональ основания равна 12, то сторона основания – в Пирамида раз меньше и равна Пирамида. Следовательно, апофема пирамиды –

Пирамида

Где Пирамида - апофема, Пирамида - боковое ребро, Пирамида - сторона основания.

Пирамида

Площадь боковой поверхности пирамиды будет равна

Пирамида

Полная площадь поверхности равна

Пирамида

Ответ: Пирамида.

Задача 3.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен Пирамида. Найдите боковое ребро пирамиды.


К задаче 3

Решение. Если угол наклона грани к плоскости основания равен Пирамида, то треугольник, выделенный рыжим, не только равнобедренный, но и правильный. Поэтому апофема пирамиды равна 6. А боковое ребро, следовательно, Пирамида.

Ответ: Пирамида.

Задача 4.

Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.


К задаче 4

Решение. Так как меньшая диагональ параллелограмма равна 3, то стороны параллелограмма и его диагональ образуют египетский треугольник, площадь которого 6, а площадь параллелограмма, таким образом, 12.

Зная площадь параллелограмма, найдем его высоты: Пирамида, Пирамида. Если провести обе высоты через точку пересечения диагоналей, то высоты боковых граней обязательно «придут» в точки пересечения высот со сторонами (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому, зная высоту пирамиды и длины половинок высот основания, можно определить длины апофем боковых граней.

Например,   Пирамида и Пирамида равны

Пирамида

Высоты граней Пирамида и Пирамида

Пирамида

Площади этих граней будут равны 5.

Отрезки Пирамида и Пирамида

Пирамида

Высоты граней Пирамида и Пирамида

Пирамида

Площади этих граней будут равны

Пирамида

Определяем полную площадь поверхности пирамиды:

Пирамида

Ответ: Пирамида

Задача 5.

Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом Пирамида. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.


К задаче 5

Решение. Пирамида - это диагональ параллелепипеда, из которого «вырезана» данная пирамида. Угол Пирамида равен Пирамида, следовательно, Пирамида, то есть Пирамида - диагональ куба. Сторона этого куба, следовательно, равна Пирамида. Площадь боковой поверхности будет складываться из площадей четырех прямоугольных треугольников. Два из них - Пирамида и Пирамида - имеют площади по Пирамида, а другие 2 - Пирамида и Пирамида - имеют один катет Пирамида, а второй Пирамида, и площадь, соответственно, Пирамида. Полная площадь боковой поверхности этой пирамиды будет равна Пирамида.

Ответ: Пирамида.

Задача 6.

Основанием пирамиды Пирамида является треугольник Пирамида, у которого Пирамида см, Пирамида см; ребро Пирамида перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.


К задаче 6

Решение. Треугольники Пирамида и Пирамида прямоугольные. Их площади равны

Пирамида

Треугольник Пирамида - равнобедренный, с основанием 10 и боковой стороной, равной Пирамида. Его высота Пирамида может быть найдена по теореме Пифагора:

Пирамида

Его площадь равна

Пирамида

Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна Пирамида.

Ответ: 192.

20.08.2020 05:43:11 | Автор: Анна

|

Профи.ру

Пароль для библиотеки – 777

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы