Метод мажорант

В этой статье приведен метод решения неравенств, называемый методом мажорант. Некоторые называют задачи на этот метод задачами на минимакс. Названия могут меняться, но суть - в оценке обеих частей неравенства.

Задача 1.

Решить неравенство:

Ограничения:

Оцениваем логарифм при данных : он оказывается всегда меньше нуля. А при данных - больше нуля. Таким образом, на ОДЗ неравенство всегда выполняется.

Ответ:

Задача 2.

Решить неравенство:

Оцениваем правую часть:

Оцениваем левую часть. - величина неотрицательная, поэтому

То есть возможно только равенство левой части четырем.

Тогда

Проверим выполнение второго уравнения системы:

Выполнено.

Ответ: .

Задача 3.

Решить неравенство:

Ограничения:

Чтобы оценить левую часть, введем функцию

Исследуем ее, взяв производную:

В точке 2 производная меняет знак с положительного на отрицательный – это точка максимума функции. Определим значение функции в этой точке:

То есть

Оценим правую часть:

При значение этого выражения минимально и равно 6.

Таким образом, возможно равенство обеих частей при

Ответ: .

Задача 4.

Решить неравенство:

Слева – сумма двух неотрицательных слагаемых. Она может быть равна нулю при условии равенства нулю обоих слагаемых:

Второе уравнение имеет корни 2 и (-5), и первому уравнению удовлетворяет первый из них.

Ответ: .

Задача 5.

Решить неравенство:

Ограничения:

Решая первое неравенство, имеем . Второй трехчлен всегда положителен вследствие отрицательности его дискриминанта.

Левая часть неравенства неотрицательна. Уравнение

Может иметь корни при равенстве нулю обоих слагаемых.

Но система

Не имеет решений. Поэтому решение неравенства – его ОДЗ.

Ответ: .
Еще два неравенства, решаемых этим методом, здесь.