Графическое решение неравенства с параметром и модулем

Здесь будет применен прием домножения на сопряженное выражение, и применен графический способ решения данного неравенства.

Задача. Найдите все значения параметра , при которых неравенство выполняется на отрезке :

Перепишем:

Применим прием «борьбы» с разностью двух положительных выражений: домножим на сопряженное выражение. Тогда неравенство будет записано:

Общий множитель в первой скобке выносим, а во второй – увидим и выделим полные квадраты:

Если теперь ввести систему координат , то в ней можно построить три объекта:

То есть две пересекающиеся прямые и окружность. Строим:

Рисунок 1. Построение линий

Теперь возьмем произвольную точку, например, с координатами   и подставим ее координаты в неравенство. Видим, что все множители положительны и неравенство не выполняется. Оно не будет выполняться во всей области, но как только мы пересечем какую-либо  ее границу, то попадем в область, где неравенство выполняется. Поэтому закрасим такие области в шахматном порядке:

Рисунок 2. Обозначение областей, где неравенство выполняется.

Теперь коричневыми вертикалями отграничим область , и посмотрим, при каких неравенство выполняется.

Рисунок 3. Ярким зеленым цветом и желтой полоской обозначаем решение неравенства на заданном отрезке

Очевидно, что это и промежуток от «верхушки» окружности до . А координату «верхушки» окружности найдем как разность радиуса и координаты центра:

.

Ответ: .