Эксцентриситеты орбит (первый закон Кеплера)

В этой статье решаем задачи на определение эксцентриситетов орбит различных объектов. Задачи взяты с сайта «myastronomy.ru».

Задача 1.

Из всех орбит больших планет Солнечной системы орбита Венеры наиболее близка к окружности; её эксцентриситет всего 0,007. Сравните афелийное расстояние Венеры с перигелийным, если большая полуось орбиты планеты равна 108 млн.км.

Решение.

Перигелийное расстояние рассчитывается как

Афелийное расстояние определим по формуле

Расстояния отличаются примерно на 1,5 млн. км.

Задача 2.

Орбита Меркурия, наоборот, существенно эллиптична: перигелийное расстояние планеты 0,31 а.е., афелийное - 0,47 а.е. Вычислите большую полуось и эксцентриситет орбиты Меркурия.

Решение. Большую полуось можно определить как

Зная большую полуось и данные нам афелийное и перигелийное расстояния, можем определить эксцентриситет:

Ответ: большая полуось равна 0,39 а.е., эксцентриситет 0,205.

Задача 3.

Большая полуось орбиты планеты-гиганта Нептуна составляет 30,07 а.е., а эксцентриситет орбиты - 0,008. Большая полуось орбиты планеты-карлика Плутона - 39,5 а.е., эксцентриситет - 0,249. Может ли Плутон находиться ближе к Солнцу, чем Нептун?

Решение. Плутон мог бы находиться ближе к Солнцу, чем Нептун, если бы оказалось, что перигелийное расстояние Плутона меньше перигелийного расстояния Нептуна. Рассчитаем оба расстояния.

Перигелийное расстояние Нептуна

Перигелийное расстояние Плутона

Так как перигелийное расстояние Нептуна больше, чем Плутона, то Плутон  может оказаться ближе к Солнцу, чем Нептун.

Ответ: да.

Задача 4.

При наблюдении с Земли видимый угловой диаметр Солнца в течение года изменяется от 31'32" до 32'36". По этим данным вычислите эксцентриситет земной орбиты.

Решение.

К задаче 4

Один и тот же диаметр Солнца мы видим под разными углами, так как находимся от Солнца на различных расстояниях. Чем меньше расстояние от Солнца до наблюдателя, тем больше угол, и наоборот. Можно на основе теоремы синусов записать, что

Где , .

Так как , , то

Откуда

И

Ответ: 0,017

Задача 5.

Эксцентриситет орбиты Марса 0,093. Во сколько раз отличается количество энергии, получаемой планетой от Солнца в перигелии и афелии?

Решение. Рассчитаем перигельное и афелийное расстояния для Марса.

Тогда количество энергии, попадающей на поверхность планеты, будет пропорционально квадрату расстояния до нее (так как энергия светила равномерно распределена по поверхности сферы, радиусом которой является расстояние от светила до планеты)

Ответ: в перигелии больше на 45%.

Задача 6.

Вследствие эллиптичности орбиты Меркурия его угловое удаление от Солнца в наибольшей элонгации может составлять от 18 до 28 градусов. По этим данным вычислите эксцентриситет орбиты Меркурия.

К задаче 6

Решение: угловое расстояние – угол между направлениями на Солнце и на Меркурий для земного наблюдателя. При этом наименьшее расстояние от Солнца до планеты может быть вычислено как

Где - большая полуось земной орбиты, 1 а.е.

А наибольшее

Тогда эксцентриситет рассчитаем по выведенной в задаче 4 формуле:

Ответ: 0,206